Αθροίσματα Τετραγώνων

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Αθροίσματα Τετραγώνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Ιαν 27, 2020 7:07 pm

Θεωρούμε αριθμούς a,b,c,d τέτοιους ώστε

\displaystyle  
\begin{aligned} 
a^3-3ab^2&=16,\\  
b^3-3a^2b&=42,\\ 
c^3-3cd^2&=24,\\ 
d^3-3c^2d&=38\\ 
\end{aligned}

Να βρεθεί ο λόγος \left(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\right)^3.

Επεξεργασία: Για την απλοποίηση του προβλήματος, άλλαξα το αρχικό ζητούμενο από τον λόγο \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}, ο οποίος μπορεί να είναι μιγαδικός αριθμός, στον κύβο του λόγου αυτού.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Αθροίσματα Τετραγώνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιαν 27, 2020 11:19 pm

Υποθέτω ότι οι \displaystyle{a,b,c,d} είναι πραγματικοί.

Είναι

\displaystyle{(a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=16-42i\implies (a^2+b^2)^3=16^2+42^2=2020.}

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι \displaystyle{(c^2+d^2)^3=24^2+38^2=2020.}

Άρα ο ζητούμενος λόγος ισούται με \displaystyle{1}.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αθροίσματα Τετραγώνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιαν 28, 2020 12:16 am

achilleas έγραψε:
Δευ Ιαν 27, 2020 7:07 pm
Θεωρούμε αριθμούς a,b,c,d τέτοιους ώστε

\displaystyle  
\begin{aligned} 
a^3-3ab^2&=16,\\  
b^3-3a^2b&=42,\\ 
c^3-3cd^2&=24,\\ 
d^3-3c^2d&=38\\ 
\end{aligned}

Να βρεθεί ο λόγος \left(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\right)^3.

Επεξεργασία: Για την απλοποίηση του προβλήματος, άλλαξα το αρχικό ζητούμενο από τον λόγο \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}, ο οποίος μπορεί να είναι μιγαδικός αριθμός, στον κύβο του λόγου αυτού.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Χωρίς χρήση μιγαδικών:

\left ( a^2+b^2 \right )^3=a^6+b^6+3a^4b^2+3b^4a^2=a^6+b^6+9a^4b^2+9b^4a^2-6a^4b^2-6b^4a^2=\left ( a^6-6a^4b^2+9a^2b^4 \right )+..+(b^6-6a^2b^4+9a^4b^2)=\left ( a^3-3ab^2 \right )^2+\left ( b^3-3a^2b \right )^2=16^2+42 ^2=2020=24^2+38^2= \\ \,\,\,\,..= (c^3-3cb^2)^2+(b^3-3bc^2)=(c^2+b^2)^3\Leftrightarrow \left (\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2} \right )^3=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης