Πρόοδος και ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 652
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πρόοδος και ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Ιαν 16, 2020 12:19 pm

Αν a_{n+1}=a_n(2-a_{n+1}),n=1,2,..., με \dfrac{1}{2}<a_1<\dfrac{2}{3},

να δείξετε ότι

\displaystyle n+\dfrac{1}{2}<\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{a_k}<n+2.



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Πρόοδος και ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Ιαν 16, 2020 1:45 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 12:19 pm
Αν a_{n+1}=a_n(2-a_{n+1}),n=1,2,..., με \dfrac{1}{2}<a_1<\dfrac{2}{3},

να δείξετε ότι

\displaystyle n+\dfrac{1}{2}<\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{a_k}<n+2.
Ωραία άσκηση
Έστω a_{n+1} αρνητικό τότε 1-a_{n+1}>0 άρα a_{n} αρνητικό και επαγωγικά a_{1}<0 άτοπο. Αν ένας ήταν μηδέν τότε όλοι είναι μηδέν επείσης άτοπο άρα όλοι οι αριθμοί της προόδου είναι θετικοί.

\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{a_{n+1}}-1,\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{2}{a_{n}}-1...,\frac{1}{a_{1}}=\frac{2}{a_{2}}-1 προσθέτοντας τους όλους έχουμε

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{a_{k+1}}-n\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}=n+\frac{2}{a_{1}}-\frac{2}{a_{n+1}}

Άρα θέλουμε να δείξουμε το ισοδύναμο \frac{1}{2}<\frac{2}{a_{1}}-\frac{2}{a_{n+1}}< 2\Leftrightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{a_{n+1}}<\frac{1}{a_{1}}<1+\frac{2}{a_{n+1}}

για το δεξιά μέλος της ανισώτητας έχουμε \frac{1}{a_{1}}< 2 άρα αρκεί 2\leq 1+\frac{1}{a_{n+1}}\Leftrightarrow 1\leq \frac{1}{a_{n+1}}. 'Έστω ότι \frac{1}{a_{n+1}}<1

τότε \frac{2}{a_{n+1}}<2\Leftrightarrow \frac{2}{a_{n+1}}-1<1\Leftrightarrow \frac{1}{a_{n}}<1
άρα επαγωγικά \frac{1}{a_{1}}<1 άτοπο άρα \frac{1}{a_{n+1}}\geq 1

για το αριστερά μέλος τώρα ισχύει ότι \frac{1}{a_{1}}> \frac{3}{2} οπότε αρκείο να δείξω \frac{3}{2}\geq \frac{1}{4}+\frac{1}{a_{n+1}}\Leftrightarrow \frac{5}{4}\geq \frac{1}{a_{n+1}}

έστω \frac{1}{a_{n+1}}> \frac{5}{4}\Leftrightarrow \frac{2}{a_{n+1}}>\frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{2}{a_{n+1}}-1>\frac{5}{2}-1\Leftrightarrow \frac{1}{a_{n}}> \frac{3}{2}

κάνοντας το επαγωγικά επειδή το 3/2 είναι μεγαλύτερο του 1 πολλαπλασιάζοντας το με 2 και μετά αφαιρόντας 1 μονάδα για να φτιάχνουμε το επόμενο κλάσμα της προόδου τότε το κλάσμα θα μεγαλώνει συνεχώς άρα \frac{1}{a_{1}}>...>\frac{1}{a_{n-1}}>2 άτοπο άρα \frac{1}{a_{n+1}}\leq \frac{5}{4}

Χρειαζόμαστε την προυπόρεση n\geq 3 αν δεν κάνω λάθος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης