Σύστημα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 161
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Σεπ 28, 2019 1:56 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς

\displaystyle \begin{cases}(a+b)\cdot 5^{(b-a)}=1 & \\(a+b)^{(a-b)}=5 & \end{cases}



Λέξεις Κλειδιά:
Summand
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 05, 2019 12:10 am

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Summand » Σάβ Σεπ 28, 2019 3:12 pm

Γεια σας!


Θέτουμε a+b=u,a-b=w οπότε το σύστημα γράφεται \frac{u}{5^w}=1 και u^w=5


Η πρώτη εξίσωση γράφεται u=5^w


Αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνουμε ({5^w})^{w}=5\Leftrightarrow 5^{w^2}=5\Leftrightarrow w^2=1\Leftrightarrow w=\pm 1

(αφού η f(x)=a^x, a>0,a\neq 1 είναι συνάρτηση 1-1)


Αντικαθιστώντας τώρα πάλι στην πρώτη σχέση u=5\vee u=\frac{1}{5} άρα έχουμε (w,u)=(1,5),(-1,\frac{1}{5})


Τέλος από τον τρόπο που ορίστηκαν τα u,w έχουμε a=\frac{u+w}{2},b=\frac{u-w}{2}


Άρα οι δυνατές τιμές των a,b είναι (a,b)=(3,2),(-\frac{2}{5},\frac{3}{5})



Φιλικά,
Γιάννης Ν.
τελευταία επεξεργασία από Summand σε Κυρ Σεπ 29, 2019 2:01 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Σεπ 28, 2019 11:37 pm

mick7 έγραψε:
Σάβ Σεπ 28, 2019 1:56 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς

\displaystyle \begin{cases}(a+b)\cdot 5^{(b-a)}=1 & \\(a+b)^{(a-b)}=5 & \end{cases}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια με λογαρίθμους .
Ισχύει: a+b>0 , από την πρώτη εξίσωση.
Λογαριθμίζοντας έχουμε : ln(a+b)+(b-a)ln5=0\Leftrightarrow (b-a)ln5=-ln(a+b)\Leftrightarrow b-a=-\dfrac{ln(a+b)}{ln5} (1)
Επίσης από την δεύτερη εξίσωση προκύπτει : (a-b)ln(a+b)=ln5 (2)

Αντικαθιστώντας την (1) στην (2) έχουμε : ln^2(a+b) = ln^{2} 5 , από όπου ισοδυνάμως προκύπτουν :
α) ln(a+b) =ln5 \Leftrightarrow a+b=5 και με αντικατάσταση στην (1) έχουμε b-a=-1.
Επομένως λύσεις :(a,b)=(3,2).
β) ln(a+b) =-ln5 \Leftrightarrow a+b= \dfrac{1}{5} και με αντικατάσταση στην (1) έχουμε b-a=1.
Επομένως λύσεις :(a,b)=(- \dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}).
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 161
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Σεπ 29, 2019 12:28 pm

Ευχαριστώ για τις λύσεις... :clap2: :10sta10:


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1400
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Οκτ 05, 2019 10:16 pm

Μία λύση για επίπεδο μαθητών που δεν γνωρίζουν λογαρίθμους.
Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με 5 και προκύπτει η εξίσωση: \left ( a+b \right )\cdot {5}^{b-a+1}=5

Αυτή σε συνδυασμό με την 2η εξίσωση μας δίνει την:  \left ( a+b \right )\cdot {5}^{b-a+1}=\left ( a+b \right )^{a-b} .

Διαιρούμε με a+b το οποίο δεν είναι μηδέν (προκύπτει από τα δεδομένα) και παίρνουμε

5^{b-a+1}=\left ( \frac{1}{a+b} \right )^{b-a+1}.

Αυτό σημαίνει ότι a+b = 1/5, (1).
Αυτή η σχέση με αντικατάσταση στη 2η εξίσωση του συστήματός μας, δίνει b-a =1, (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι  b=3/5 και a = -2/5.
Επίσης, πρέπει να πάρουμε υπόψη ότι μπορεί να ισχύει και η περίπτωση  b-a+1 = 0,
(μου το θύμισε πρωί-πρωί ο φίλος Μιχάλης Λάμπρου να το προσθέσω, ως ειδική περίπτωση διαφορετικών βάσεων με εκθέτη μηδέν).
Τώρα με ακτικατάσταση έχουμε και τη λύση a=3, b=2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης