Πολυμεταβλητή ισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 967
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πολυμεταβλητή ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Σεπ 16, 2019 11:41 pm

Για ποιές μη αρνητικές τιμές των x,y,z ικνανοποιείται η ισότητα

\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} = \sqrt{x+4y+9z} ;


Για Θαλή/Ευκλείδη Γ' Λυκείου. Πηγή το ρωσικό περιοδικό "Τα μαθηματικά στο σχολείο"
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Σεπ 24, 2019 12:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2580
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 17, 2019 11:33 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Σεπ 16, 2019 11:41 pm
Για ποιές μη αρνητικές τιμές των x,y,z ικνανοποιείται η ισότητα

\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} = \sqrt{x+4y+9z} ;


Για Θαλή/Ευκλείδη Γ' Λυκείου
Θέτουμε a=x+y+z , b=y+z ,c=z

οπότε γίνεται

\sqrt{a} + \sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{a+3b+5c}(1)

επίσης είναι a\geq b\geq c\geq 0
Αν a=0 τότε έχουμε την προφανή λύση όλα 0

Διαφορετικά θέτουμε
t=\frac{b}{a},s=\frac{c}{a}
όπου
 0\leq s\leq t\leq 1

Η (1) γίνεται 1+\sqrt{t}+\sqrt{s}=\sqrt{1+3t+5s}

Υψώνοντας στο τετράγωνο την τελευταία και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε

\sqrt{t}+\sqrt{s}+\sqrt{ts}=t+2s

Χρησιμοποιόντας τις συνθήκες προκύπτει ότι

t+2s=\sqrt{t}+\sqrt{s}+\sqrt{ts}\geq t+s+s=t+2s

Αρα \sqrt{t}=t,\sqrt{s}=s

δηλαδή τα t,s είναι 0 η 1

Ετσι έχουμε τα παρακάτω

s=t=0\Rightarrow y=z=0

s=t=1\Rightarrow y=x=0

s=0,t=1\Rightarrow x=z=0

Τελικά μπορούμε να πούμε ότι οι λύσεις είναι αυτές που τουλάχιστον δύο
από τα x,y,z είναι 0


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 17, 2019 3:20 pm

Ας το δούμε και γεωμετρικά. Έστω x,y,z \geqslant 0 ώστε να ισχύει η ισότητα.

Θεωρούμε στον χώρο τα σημεία O = (0,0,0), A = (\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}), B = (\sqrt{x},2\sqrt{y},2\sqrt{z}) και C = (\sqrt{x},2\sqrt{y},3\sqrt{z}).

Τότε (OA) = \sqrt{x+y+z}, (AB) = \sqrt{y+z}, (BC) = \sqrt{z} και (OC) = \sqrt{x+4y+9z}. Έχουμε λοιπόν (OA)+(AB)+(BC) = (OC) οπότε η ισότητα λαμβάνεται αν και μόνο αν τα O,A,B,C είναι συνευθειακά και με αυτήν την σειρά.

Περίπτωση 1: Αν x \neq 0, επειδή OA \parallel AB πρέπει A=B και άρα και y=z=0. Αντιστρόφως αν y=z=0 τότε ισχύει η ισότητα.
Περίπτωση 2: Αν x =0 αλλά y \neq 0, επειδή OB \parallel BC πρέπει B=C και άρα και z=0. Αντιστρόφως αν x=z=0 τότε ισχύει η ισότητα.
Περίπτωση 3: Αν x = y =0 τότε ισχύει η ισότητα.

Άρα έχουμε ισότητα αν και μόνο αν τουλάχιστον δύο από τα x,y,z είναι ίσα με 0.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Σεπ 17, 2019 9:43 pm

Ουσιαστικά αυτό που γράφει ο Δημήτρης, αλλά άμεσα. Από Minkowski,

\displaystyle{\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} \geq\sqrt{x+(\sqrt{y}+\sqrt{y})^2+(\sqrt{z}+\sqrt{z}+\sqrt{z})^2}=\sqrt{x+4y+9z}.}

Οπότε πρέπει να έχουμε ισότητα στην παραπάνω και τα υπόλοιπα είναι απλά.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 967
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Σεπ 24, 2019 12:33 pm

Για λόγους πλουραλισμού άλλη μια προσέγγιση με χρήση ιδιοτήτων δευτευροβάθμιου τριωνύμου.

Αρχικά εξετάζουμε αν υπάρχουν θετικές λύσεις της εξίσωσης, αντικαθυστούμε με a,b,c τους όρους του αθροίσματους του αριστερού μέλους της. Παρατηρούμε ότι a >b>c και η εξίσωση μπορεί να γραφεί στην μορφή

\left ( a+b+c\right )^2= a^2+3b^2+5c^2

ή γράφοντας την ως τριώνυμο ως προς c

f(c)=2c^2-(a+b)c-ab+b^2=0

Ψάχνουμε λύσεις της εξίσωσεις στο διάστημα \left (0,b \right), έχουμε όμως

f(0)=-ab+b^2 < 0 και f(b)=2b^2-ab-b^2-ab+b^2=2(b^2-ab) < 0 . Άρα δεν υπάρχουν θετικές λύσεις στο εν λόγω διάστημα. Οι όποιες λύσεις θα πρέπει να έχουν τουλάχιστον μια μεταβλητή ίση με το μηδέν και συνεχίζουμε εύκολα από αυτό το σημείο...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης