Εφαπτομένη ..κύβος

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εφαπτομένη ..κύβος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Φεβ 10, 2019 1:50 am

Καλή Κυριακή σε όλους.
Εφαπτομένη ..πολύτιμος κύβος.PNG
Εφαπτομένη ..πολύτιμος κύβος.PNG (9.6 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι B\widehat{A}C=90^{0} και το AD ύψος του. Αν AD=1 και CD^{3}-BD^{3}=76 τότε

1)Να εξεταστεί αν η tanB είναι κύβος περίφημου αριθμού.

Ο κύκλος (D,DA=1) τέμνει την BC στο H και την AC στο Z

2)Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}
Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8139
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εφαπτομένη ..κύβος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 10, 2019 1:35 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 10, 2019 1:50 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Εφαπτομένη ..πολύτιμος κύβος.PNG
Στο τρίγωνο ABC είναι B\widehat{A}C=90^{0} και το AD ύψος του. Αν AD=1 και CD^{3}-BD^{3}=76 τότε

1)Να εξεταστεί αν η tanB είναι κύβος περίφημου αριθμού.

Ο κύκλος (D,DA=1) τέμνει την BC στο H και την AC στο Z

2)Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλό μεσημέρι σε όλους!
Εφαπτομένη...κύβος.png
Εφαπτομένη...κύβος.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
1) \displaystyle \tan B = {\Phi ^3} .......... 2) \dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}=2

Αργότερα η λύση.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Φεβ 10, 2019 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εφαπτομένη ..κύβος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Φεβ 10, 2019 2:16 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 10, 2019 1:50 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Εφαπτομένη ..πολύτιμος κύβος.PNG
Στο τρίγωνο ABC είναι B\widehat{A}C=90^{0} και το AD ύψος του. Αν AD=1 και CD^{3}-BD^{3}=76 τότε

1)Να εξεταστεί αν η tanB είναι κύβος περίφημου αριθμού.

Ο κύκλος (D,DA=1) τέμνει την BC στο H και την AC στο Z

2)Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα και καλή Κυριακή.
Μια προσπάθεια στο πρώτο υποερώτημα.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ACD είναι : cotC=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{CD}{1}= CD και στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD είναι : tan A_{1}=\dfrac{BD}{AD}= \dfrac{BD}{1}=BD ,
όπου A_1= \hat{BAD}.
Συνεπώς έχουμε CD^{3}-BD^{3}= cot^3C-tan^3A_1= cot^3\left ( 90^o-B \right )-tan^3( 90^o-B \right ))  = tan^3 B-cot^3B =76 .
Θέτοντας στην τελευταία όπου  tan^3B=t , προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση t^2-76t-1 με διακρίνουσα:\Delta =2^2\cdot 17^2\cdot 5 ,
από όπου προκύπτει δεκτή ρίζα η t=38+17\sqrt{5}. Επομένως έχουμε :tanB= \sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3}=\phi ^3.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8139
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εφαπτομένη ..κύβος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 10, 2019 4:42 pm

Εφαπτομένη...κύβος.png
Εφαπτομένη...κύβος.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
1) Έστω DC=x, BD=y. Επειδή AD=1, θα είναι \displaystyle xy = 1 \Rightarrow {x^3} - {y^3} = 76 \Leftrightarrow {x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} = 76\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{x^3} = t} {t^2} - 76t - 1 = 0

Η συνέχεια όπως και ο Σταμάτης με αποτέλεσμα \boxed{\tan B = {\Phi ^3}}

2) Τα τρίγωνα είναι και τα δύο ισοσκελή και οι ίσες πλευρές τους είναι 1. Άρα: \displaystyle \frac{{(DAZ)}}{{(DHZ)}} = \frac{{\sin \omega }}{{\sin (90^\circ  - \omega )}} =

\displaystyle \tan \omega  = \tan (180^\circ  - 2B) =  - \tan 2B = \frac{{2\tan B}}{{{{\tan }^2}B - 1}} = \frac{{2(2 + \sqrt 5 )}}{{4(2 + \sqrt 5 )}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(DHZ)}}{{(DAZ)}} = 2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης