Πλευρές τριγώνου

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7830
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πλευρές τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 05, 2019 10:36 am

AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Αν BD=1, AC=3AB και C\widehat AD=3B\widehat AD, να βρείτε τα μήκη των

πλευρών του τριγώνου ABC. (Επειδή η άσκηση είναι σε φάκελο άλγεβρας, θα παρακαλούσα οι εξισώσεις που θα

προκύψουν να λυθούν κανονικά και να μη δοθούν απαντήσεις του στυλ: "Λύνω την εξίσωση και κρατάω τη δεκτή ρίζα...").

Δίνεται το μαθητικό 24ωρο.


Σημείωση: Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο για την αλγεβρική και τριγωνομετρική της λύση. Υπάρχει όμως γεωμετρική λύση πολύ απλούστερη (για φάκελο Β' λυκείου). Το διευκρινίζω επειδή μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί, γιατί τόσο βαρύς φάκελος σε μια τόσο απλή άσκηση! Όλες οι λύσεις πάντως,είναι δεκτές.



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πλευρές τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Φεβ 05, 2019 3:43 pm

Φέρω διχοτόμο AL ,οπότε BAL ισοσελές AB=AL=a και BL=2

Με θεώρημα διχοτόμων παίρνουμε \dfrac{AB}{BL}=\dfrac{AC}{CL}\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{BC-2}\Leftrightarrow BC-2=6\Leftrightarrow BC=8
Επιπλέον

\left\{\begin{matrix} & AD^2=a^2-1 & \\ & AD^2=9a^2-49 & \end{matrix}\right\Leftrightarrow 8a^2=48\Leftrightarrow a=\sqrt{6}

Άρα AB=a=\sqrt{6} και AC=3a=3\sqrt{6} και BC=8.
Συνημμένα
Capture82.PNG
Capture82.PNG (16.63 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 972
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Πλευρές τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Φεβ 06, 2019 9:52 pm

Καλό βράδυ! Μετά την ωραία λύση του Πρόδρομου ας δούμε μια κατ' εξοχήν τριγωνομετρική :
Πλευρές τριγώνου.PNG
Πλευρές τριγώνου.PNG (5.54 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
Με τον Ν. ημιτόνων στο ABC παίρνουμε
\dfrac{\eta \mu B}{\eta \mu C}=\dfrac{AC}{AB}=3\Rightarrow \eta \mu \left ( 90^{0}-\varphi  \right )=3\eta \mu \left ( 90^{0}-3\varphi  \right )\Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi =3\sigma \upsilon \nu 3\varphi =3\left ( 4\sigma \upsilon \nu ^{3}\varphi -3\sigma \upsilon \nu \varphi  \right )

\Rightarrow 12\sigma \upsilon \nu ^{3}\varphi -10\sigma  \upsilon \nu \varphi =0 
\Rightarrow \boxed{\sigma \upsilon \nu ^{2}\varphi=\dfrac{5}{6} } δηλ. \dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{5}{6} ενώ και AB^{2}-AD^{2}=1 άρα AB^{2}=6\Rightarrow AB=\sqrt{6}...AC=3\sqrt{6}.

Ακόμη \sigma \upsilon  \nu 2\varphi =2\sigma \upsilon \nu ^{2}\varphi -1=\dfrac{2}{3} και \sigma \upsilon \nu A=2\sigma\upsilon  \nu ^{2}\left ( 2\varphi  \right )-1=-\dfrac{1}{9} .

Τέλος με τον Ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο ABC βρίσκουμε BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\sigma \upsilon \nu A=..=64\Rightarrow AB=8
Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7830
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλευρές τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 10, 2019 6:07 pm

Ευχαριστώ τον Πρόδρομο για την ωραία γεωμετρική του λύση και τον Γιώργο για την εξίσου ωραία τριγωνομετρική.

Η δική μου μοιάζει περισσότερο με του Γιώργου. Γράφω τα κύρια βήματα της λύσης:

Από \displaystyle \sin \varphi  = \frac{1}{c},\sin 3\varphi  = \frac{{CD}}{{3c}} \Rightarrow \frac{3}{c} - \frac{4}{{{c^3}}} = \frac{{CD}}{{3c}} \Leftrightarrow CD = \frac{{9{c^2} - 12}}{{{c^2}}}

Αλλά, \displaystyle A{C^2} - A{B^2} = C{D^2} - 1 \Leftrightarrow {c^2} = \frac{{C{D^2} - 1}}{8}

Από αυτές τις σχέσεις βρίσκω \displaystyle CD = 7 \Leftrightarrow a = 8 και με Πυθαγόρειο τις άλλες πλευρές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης