Απολυταρχία

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 818
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Απολυταρχία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Φεβ 02, 2019 1:31 pm

Με αφορμή το δεύτερο πρόβλημα του "Ευκλείδη" της Γ' Λυκείου.

Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης x^2+y^2=1 διαιρεί το καρτεσιανό επίπεδο σε δυο χωρία (τα εσωτερικά σημεία του κύκλου που ορίζουν οι λύσεις της εξίσωσης και όλα τα σημεία εξωτερικά αυτού). Σε πόσα χωρία διαμερίζει το καρτεσιανό επίπεδο το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης

\displaystyle \left | \left | \left | x\right | -3 \right | -1 \right | + \left | \left | \left | y\right | -3 \right | -1 \right | =1;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4235
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απολυταρχία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Φεβ 02, 2019 10:19 pm

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω μια λύση "του εργάτη" διακρίνοντας 16 (!) περιπτώσεις. Περιμένω να δω μια λύση του "ποιητή", ελπίζοντας να μην έχω κάνει κάποιο ή κάποια λάθη...


edit: Με τη διακριτική υπόδειξη του Αλέξανδρου Κουτσουρίδη διορθώνω το Πεδίο Ορισμού των x, y. Αρχικά είχα βρει τα (βολικότερα για μένα ...) διαστήματα  \displaystyle  - 5 \le x \le  - 3\;\;\; \vee \;\;\;\;3 \le x \le 5 και  \displaystyle  - 5 \le y \le  - 3\;\;\; \vee \;\;\;\;3 \le x \le 5


Είναι  \displaystyle 0 \le \left| {\left| {\left| x \right| - 3} \right| - 1} \right| \le 1\;\;\left( 1 \right)\;\;\; \wedge \;\;\;\;\;0 \le \left| {\left| {\left| y \right| - 3} \right| - 1} \right| \le 1\;\;\;\;\left( 2 \right) .

Η (1) γράφεται

 \displaystyle 0 \le \left| {\left| x \right| - 3} \right| - 1 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le \left| x \right| \le 5 , άρα  \displaystyle  - 5 \le x \le  - 1\;\;\; \vee \;\;\;\;1 \le x \le 5

Ομοίως η (2) γράφεται  \displaystyle 1 \le \left| y \right| \le 5 άρα  \displaystyle  - 5 \le y \le  - 1\;\;\; \vee \;\;\;\;1 \le y \le 5


Αν  \displaystyle 4 \le x \le 5\;\; \wedge \;\;4 \le y \le 5 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = 9

Αν  \displaystyle 3 \le x \le 4\;\; \wedge \;\;3 \le y \le 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = 7

Αν  \displaystyle 4 \le x \le 5\;\; \wedge \;\;3 \le y \le 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = 1

Αν  \displaystyle 3 \le x \le 4\;\; \wedge \;\;4 \le y \le 5 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = -1


Αν  \displaystyle  - 5 \le x \le  - 4\;\; \wedge \;\; - 5 \le y \le  - 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = -9

Αν  \displaystyle  - 5 \le x \le  - 4\;\; \wedge \;\; - 4 \le y \le  - 3 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = -1

Αν  \displaystyle  - 4 \le x \le  - 3\;\; \wedge \;\; - 4 \le y \le  - 3 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = -7

Αν  \displaystyle  - 4 \le x \le  - 3\;\; \wedge \;\; - 5 \le y \le  - 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = 1


Αν  \displaystyle 4 \le x \le 5\;\; \wedge \;\; - 5 \le y \le  - 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = 9

Αν  \displaystyle 4 \le x \le 5\;\; \wedge \;\; - 4 \le y \le  - 3 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = 1

Αν  \displaystyle 3 \le x \le 4\;\; \wedge \;\; - 5 \le y \le  - 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = -1

Αν  \displaystyle 3 \le x \le 4\;\; \wedge \;\; - 4 \le y \le  - 3 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = 7


Αν  \displaystyle  - 5 \le x \le  - 4\;\; \wedge \;\;4 \le y \le 5 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = -9

Αν  \displaystyle  - 5 \le x \le  - 4\;\; \wedge \;\;3 \le y \le 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = -1

Αν  \displaystyle  - 4 \le x \le  - 3\;\; \wedge \;\;4 \le y \le 5 , τότε η εξίσωση γίνεται x + y = 1

Αν  \displaystyle  - 4 \le x \le  - 3\;\; \wedge \;\;3 \le y \le 4 , τότε η εξίσωση γίνεται x - y = -7


edit: Αν συνεχίζαμε έτσι, θα είχαμε τις ευθείες x-y=k, x+ y = k με k = -9, -7, -5, ... 5, 7, 9

Σχηματίζονται είκοσι τετράγωνα, άρα έχουμε είκοσι και μία περιοχές.

Θα χαρώ να δω τη συνοπτικότερη λύση!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης