Εναδικά κλάσματα

#1

Με αφορμή τον διαγωνισμό Putnam εδώ ένα ενδιαφέρον και μάλλον προσιτό θέμα:

Δείξτε ότι κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα διαφορετικών ανά δύο κλασμάτων της μορφής $\frac {1}{n}$ (τα λεγόμενα εναδικά κλάσματα).

To αποτέλεσμα αυτό υπάρχει αποδεδειγμένο στο Liber Abaci του Fibonacci, τον 13 αιώνα. Επίσης για ρητούς της μορφής $\displaystyle{\frac {2}{n}, \, 2\le n \le 101}$ υπάρχει πίνακας με ανάλυσή τους $\frac {2}{n} = \frac {1}{n_1}+...+\frac {1}{n_k}$ στον αρχαίο Αιγυπτιακό πάπυρο Rhind πριν από 4000

χρόνια. Γι΄αυτό τα εναδικά κλάσματα ονομάζονται και Αιγυπτιακά.

Για το παραπάνω υπάρχουν διάφορες απλές αποδείξεις, και εδώ περιμένω μερικές διαφορετικές, ιδίως από τους νεαρούς μαθητές μας.

#2

Επαναφορά

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 05, 2018 1:54 am
... περιμένω μερικές διαφορετικές, ιδίως από τους νεαρούς μαθητές μας.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 05, 2018 1:54 am

Δείξτε ότι κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα διαφορετικών ανά δύο κλασμάτων της μορφής $\frac {1}{n}$ (τα λεγόμενα εναδικά κλάσματα).

Κυκλοφορούν τουλάχιστον τρεις αποδείξεις. Μία είναι του Sylvester, ο οποίος ανακάλυψε το αποτέλεσμα (θα την γράψω άλλη φορά, αν χρειαστεί). Για την ώρα δίνω τα κύρια βήματα της λύσης του Cunningham στο American Mathematical Monthly.

Για θετικό ρητό $\dfrac {m}{n}$ γράφουμε (επιτρέποντας προσωρινά τις επαναλήψεις) $\displaystyle{\frac {m}{n}= \frac {1}{n}+ \frac {1}{n} + ... +\frac {1}{n}}$ .
Τώρα με πολλαπλή χρήση της ταυτότητας $\displaystyle{\frac {1}{n}= \frac {1}{n+1}+\frac {1}{n(n+1)}}$ , αν χρειαστεί, διώχνουμε τους όρους που επαναλαμβάνονται, μέχρι που να εξαφανιστούν οι επαναλήψεις. Για παράδειγμα

$\displaystyle{\frac {3}{7}= \frac {1}{7}+\frac {1}{7}+ \frac {1}{7}= \frac {1}{7}+\left ( \frac {1}{8}+ \frac {1}{56}\right ) +\left ( \frac {1}{8}+ \frac {1}{56}\right ) =}$

$\displaystyle{= \frac {1}{7}+\left ( \frac {1}{8}+ \frac {1}{56}\right ) +\left (\left ( \frac {1}{9}+ \frac {1}{72}\right ) + \left ( \frac {1}{57}+ \frac {1}{3192}\right ) \right )= \frac {1}{7}+\frac {1}{8}+ \frac {1}{9} + \frac {1}{56}+ \frac {1}{57} + \frac {1}{72}+ \frac {1}{3192}}$

Μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η παραπάνω διαδικασία πάντα τελειώνει.

#4

Ένας άλλος τρόπος είναι ο «λαίμαργος αλγόριθμος». Θα υποθέσουμε αρχικά ότι το κλάσμα μας ανήκει στο διάστημα (0,1)

.

Κάθε φορά γράφουμε το μεγαλύτερο εναδικό κλάσμα που δεν υπερβαίνει το κλάσμα που παραμένει. Π.χ.

$\displaystyle \frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{7}-\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{21} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \left(\frac{2}{21}-\frac{1}{11} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}$

Σίγουρα δεν γράφουμε ποτέ δυο φορές το ίδιο κλάσμα διότι αν είχαμε γράψει δυο φορές το $\frac{1}{n}$ θα μπορούσαμε την πρώτη φορά να γράψουμε το $\frac{1}{n-1} < \frac{1}{n} + \frac{1}{n}$ , άτοπο. (Πρέπει n > 2

αφού αλλιώς $\frac{1}{n} + \frac{1}{n} \geqslant 1$ .)

Για να δείξουμε ότι η διαδικασία τερματίζεται θα δείξουμε ότι στο κλάσμα που παραμένει ο αριθμητής σε κάθε βήμα μειώνεται.

Έστω ότι μένει το κλάσμα $\displaystyle \frac{a}{b}$ και ότι ακολούθως γράψαμε το κλάσμα $\displaystyle \frac{1}{n}$ . Αυτό σημαίνει ότι

$\displaystyle \frac{1}{n} \leqslant \frac{a}{b} < \frac{1}{n-1}$

Το επόμενο κλάσμα που παραμένει είναι το $\displaystyle \frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{an - b}{ab}$ το οποίο όταν απλοποιηθεί, έχει παρονομαστή μικρότερο ή ίσο του an - b

. Θέλουμε να δείξουμε ότι an - b < a

. Αυτό όμως είναι ισοδύναμο με το $\displaystyle \frac{a}{b} < \frac{1}{n-1}$ που γνωρίζουμε ήδη.

Πάμε τώρα να δούμε τι κάνουμε αν αρχίσουμε από ρητό μεγαλύτερο ή ίσο του

.

Πάλι προχωράμε λαίμαργα μόνο που αυτήν την φορά γράφουμε το μεγαλύτερο εναδικό κλάσμα που δεν υπερβαίνει το κλάσμα που παραμένει και το οποίο δεν έχουμε ήδη γράψει. Η ίδια ουσιαστικά απόδειξη δουλεύει και πάλι μόνο που αυτήν την φορά ο αριθμητής μειώνεται από ένα σημείο και μετά. Το σημείο που σίγουρα αρχίζει να μειώνεται είναι όταν γράψουμε το κλάσμα $\frac{1}{m}$ ενώ το κλάσμα που παραμένει είναι μικρότερο του $\frac{1}{m}$ . Αυτό σίγουρα θα συμβεί επειδή η αρμονική σειρά αποκλίνει.

#5

Ωραιότατα.

Για την ιστορία, η αρχική απόδειξη του Sylvester που ανέφερα, είναι στο ίδιο μήκος κύματος.

Εναδικά κλάσματα

Εναδικά κλάσματα

Re: Εναδικά κλάσματα

Re: Εναδικά κλάσματα

Re: Εναδικά κλάσματα

Re: Εναδικά κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση