Εναδικά κλάσματα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Εναδικά κλάσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 05, 2018 1:54 am

Με αφορμή τον διαγωνισμό Putnam εδώ ένα ενδιαφέρον και μάλλον προσιτό θέμα:

Δείξτε ότι κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα διαφορετικών ανά δύο κλασμάτων της μορφής \frac {1}{n} (τα λεγόμενα εναδικά κλάσματα).

To αποτέλεσμα αυτό υπάρχει αποδεδειγμένο στο Liber Abaci του Fibonacci, τον 13 αιώνα. Επίσης για ρητούς της μορφής \displaystyle{\frac {2}{n}, \, 2\le n \le 101} υπάρχει πίνακας με ανάλυσή τους \frac {2}{n}  = \frac {1}{n_1}+...+\frac {1}{n_k} στον αρχαίο Αιγυπτιακό πάπυρο Rhind πριν από 4000 χρόνια. Γι΄αυτό τα εναδικά κλάσματα ονομάζονται και Αιγυπτιακά.

Για το παραπάνω υπάρχουν διάφορες απλές αποδείξεις, και εδώ περιμένω μερικές διαφορετικές, ιδίως από τους νεαρούς μαθητές μας.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εναδικά κλάσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 08, 2018 2:50 pm

Επαναφορά
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 05, 2018 1:54 am
... περιμένω μερικές διαφορετικές, ιδίως από τους νεαρούς μαθητές μας.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εναδικά κλάσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 5:04 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 05, 2018 1:54 am

Δείξτε ότι κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα διαφορετικών ανά δύο κλασμάτων της μορφής \frac {1}{n} (τα λεγόμενα εναδικά κλάσματα).
Κυκλοφορούν τουλάχιστον τρεις αποδείξεις. Μία είναι του Sylvester, ο οποίος ανακάλυψε το αποτέλεσμα (θα την γράψω άλλη φορά, αν χρειαστεί). Για την ώρα δίνω τα κύρια βήματα της λύσης του Cunningham στο American Mathematical Monthly.

Για θετικό ρητό \dfrac {m}{n} γράφουμε (επιτρέποντας προσωρινά τις επαναλήψεις) \displaystyle{\frac {m}{n}= \frac {1}{n}+ \frac {1}{n} + ... +\frac {1}{n}}.
Τώρα με πολλαπλή χρήση της ταυτότητας \displaystyle{\frac {1}{n}= \frac {1}{n+1}+\frac {1}{n(n+1)}}, αν χρειαστεί, διώχνουμε τους όρους που επαναλαμβάνονται, μέχρι που να εξαφανιστούν οι επαναλήψεις. Για παράδειγμα

\displaystyle{\frac {3}{7}= \frac {1}{7}+\frac {1}{7}+ \frac {1}{7}=  \frac {1}{7}+\left ( \frac {1}{8}+ \frac {1}{56}\right ) +\left ( \frac {1}{8}+ \frac {1}{56}\right ) =}

\displaystyle{=  \frac {1}{7}+\left ( \frac {1}{8}+ \frac {1}{56}\right ) +\left (\left (  \frac {1}{9}+  \frac {1}{72}\right ) + \left ( \frac {1}{57}+  \frac {1}{3192}\right ) \right )=  \frac {1}{7}+\frac {1}{8}+ \frac {1}{9} + \frac {1}{56}+  \frac {1}{57} + \frac {1}{72}+  \frac {1}{3192}}

Μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η παραπάνω διαδικασία πάντα τελειώνει.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8021
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εναδικά κλάσματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 22, 2018 6:28 pm

Ένας άλλος τρόπος είναι ο «λαίμαργος αλγόριθμος». Θα υποθέσουμε αρχικά ότι το κλάσμα μας ανήκει στο διάστημα (0,1).

Κάθε φορά γράφουμε το μεγαλύτερο εναδικό κλάσμα που δεν υπερβαίνει το κλάσμα που παραμένει. Π.χ.

\displaystyle  \frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{7}-\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{21} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \left(\frac{2}{21}-\frac{1}{11} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}

Σίγουρα δεν γράφουμε ποτέ δυο φορές το ίδιο κλάσμα διότι αν είχαμε γράψει δυο φορές το \frac{1}{n} θα μπορούσαμε την πρώτη φορά να γράψουμε το \frac{1}{n-1} < \frac{1}{n} + \frac{1}{n}, άτοπο. (Πρέπει n > 2 αφού αλλιώς \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \geqslant 1.)

Για να δείξουμε ότι η διαδικασία τερματίζεται θα δείξουμε ότι στο κλάσμα που παραμένει ο αριθμητής σε κάθε βήμα μειώνεται.

Έστω ότι μένει το κλάσμα \displaystyle \frac{a}{b} και ότι ακολούθως γράψαμε το κλάσμα \displaystyle  \frac{1}{n}. Αυτό σημαίνει ότι

\displaystyle  \frac{1}{n} \leqslant \frac{a}{b} < \frac{1}{n-1}

Το επόμενο κλάσμα που παραμένει είναι το \displaystyle \frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{an - b}{ab} το οποίο όταν απλοποιηθεί, έχει παρονομαστή μικρότερο ή ίσο του an - b. Θέλουμε να δείξουμε ότι an - b < a. Αυτό όμως είναι ισοδύναμο με το \displaystyle \frac{a}{b} < \frac{1}{n-1} που γνωρίζουμε ήδη.

Πάμε τώρα να δούμε τι κάνουμε αν αρχίσουμε από ρητό μεγαλύτερο ή ίσο του 1.

Πάλι προχωράμε λαίμαργα μόνο που αυτήν την φορά γράφουμε το μεγαλύτερο εναδικό κλάσμα που δεν υπερβαίνει το κλάσμα που παραμένει και το οποίο δεν έχουμε ήδη γράψει. Η ίδια ουσιαστικά απόδειξη δουλεύει και πάλι μόνο που αυτήν την φορά ο αριθμητής μειώνεται από ένα σημείο και μετά. Το σημείο που σίγουρα αρχίζει να μειώνεται είναι όταν γράψουμε το κλάσμα \frac{1}{m} ενώ το κλάσμα που παραμένει είναι μικρότερο του \frac{1}{m}. Αυτό σίγουρα θα συμβεί επειδή η αρμονική σειρά αποκλίνει.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εναδικά κλάσματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 6:48 pm

Ωραιότατα.

Για την ιστορία, η αρχική απόδειξη του Sylvester που ανέφερα, είναι στο ίδιο μήκος κύματος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης