Ταυτότητα με άρρητους

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Ταυτότητα με άρρητους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 27, 2018 8:00 pm

Την κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.

Έστω n φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός N με \displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.



Λέξεις Κλειδιά:
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τρί Νοέμ 27, 2018 11:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 8:00 pm
Την κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.

Έστω n φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός N με \displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.
Είναι:\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{n}=\sqrt{N}+\sqrt{N+1}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2n}=\left ( \sqrt{N}+\sqrt{N+1} \right )^{2}\Leftrightarrow\left ( \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2} \right )^{n}=\left ( N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+N+1 \right )^{2}\Leftrightarrow 
.. \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=\left ( 2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 \right )
Παρατηρούμε πως για  n=1 και N=1 η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o N. (διορθώστεμε αν ήμουν ημιτελής)
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Τετ Νοέμ 28, 2018 12:11 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3682
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 28, 2018 12:07 am

Ερώτηση: Δε θα μπορούσαμε απλά να πούμε για n=N=1 ισχύει ως ισότητα. Και απλά να μη προσθέσουμε τίποτα άλλο; Δείξαμε αυτό που θέλει η άσκηση... !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 28, 2018 12:19 am

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 11:53 pm
Είναι:\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{n}=\sqrt{N}+\sqrt{N+1}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2n}=\left ( \sqrt{N}+\sqrt{N+1} \right )^{2}\Leftrightarrow\left ( \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2} \right )^{n}=\left ( N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+N+1 \right )^{2}\Leftrightarrow 
.. \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=\left ( 2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 \right )
Παρατηρούμε πως για  n=1 και N=1 η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o N.
Αν είναι να βάλεις n=1, N=1 γιατί δεν το έβαλες στην αρχική, δηλαδή την \displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}, αλλά έπρεπε να κάνεις έναν κυκεώνα πράξεων μέχρι να φτάσεις στην σαφώς δυσκολότερη παράσταση \displaystyle{ \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 } και να βάλεις εκεί n=1, N=1. Χάνουμε την ουσία.

Αυτό που έχει μεγαλύτερη σημασία είναι ότι η λύση είναι πάρα πολλή προβληματική. Πρώτα απ' όλα το n δίνεται στην άσκηση. Δεν το επιλέγουμε εμείς. Με απλά λόγια, αν σου δώσω ένα n, όποιο και να είναι όπως n=100 ή n=1000 ή οποιοδήποτε άλλο, δείξε ότι υπάρχει N που εξαρτάται από το εκάστοτε n έτσι ώστε να ισχύει η δοθείσα ταυτότητα.

Αν δεν είναι κατανοητά αυτά που γράφω, θα συνιστούσα να ρωτούσες τον Μαθηματικό σου στο Σχολείο για να σου εξηγήσει γιατί είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός σου. Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε να βελτιώνεσαι, και θα το κάνουμε με χαρά.


ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τετ Νοέμ 28, 2018 1:00 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Νοέμ 28, 2018 12:19 am
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 11:53 pm
Είναι:\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{n}=\sqrt{N}+\sqrt{N+1}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2n}=\left ( \sqrt{N}+\sqrt{N+1} \right )^{2}\Leftrightarrow\left ( \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2} \right )^{n}=\left ( N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+N+1 \right )^{2}\Leftrightarrow 
.. \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=\left ( 2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 \right )
Παρατηρούμε πως για  n=1 και N=1 η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o N.
Αν είναι να βάλεις n=1, N=1 γιατί δεν το έβαλες στην αρχική, δηλαδή την \displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}, αλλά έπρεπε να κάνεις έναν κυκεώνα πράξεων μέχρι να φτάσεις στην σαφώς δυσκολότερη παράσταση \displaystyle{ \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 } και να βάλεις εκεί n=1, N=1. Χάνουμε την ουσία.

Αυτό που έχει μεγαλύτερη σημασία είναι ότι η λύση είναι πάρα πολλή προβληματική. Πρώτα απ' όλα το n δίνεται στην άσκηση. Δεν το επιλέγουμε εμείς. Με απλά λόγια, αν σου δώσω ένα n, όποιο και να είναι όπως n=100 ή n=1000 ή οποιοδήποτε άλλο, δείξε ότι υπάρχει N που εξαρτάται από το εκάστοτε n έτσι ώστε να ισχύει η δοθείσα ταυτότητα.

Αν δεν είναι κατανοητά αυτά που γράφω, θα συνιστούσα να ρωτούσες τον Μαθηματικό σου στο Σχολείο για να σου εξηγήσει γιατί είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός σου. Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε να βελτιώνεσαι, και θα το κάνουμε με χαρά.
Κατανοώ απόλυτα τι λέτε. Ωστόσο θα συμβουλευτώ και τον μαθηματικό μου.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 30, 2018 8:59 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 8:00 pm
Την κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.

Έστω n φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός N με \displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.
Επαναφορά για όλους.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Δεκ 01, 2018 9:47 am

Παρατηρούμε ότι (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1=(\sqrt{N+1}+\sqrt{N})(\sqrt{N+1}-\sqrt{N}) για οποιοδήποτε N\geq 0.

Έτσι, αν (\sqrt{2}+1)^n=\sqrt{N+1}+\sqrt{N}, τότε (\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{N+1}-\sqrt{N}, οπότε

2\sqrt{N+1}=(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n και 2\sqrt{N}=(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n

Άρα θα είναι

4(N+1)=(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n+2 και 4N=(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n-2

Αρκεί να δείξουμε, λοιπόν, ότι αν x_n=(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n για n\geq 0, τότε ο x_n είναι ακέραιος τέτοιος ώστε x_n\equiv 2\pmod {4} για n\geq 0.

Πράγματι, είναι x_0=2, x_1=6 και x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n για κάθε n\geq 0, οπότε οι παραπάνω ισχυρισμοί έπονται εύκολα με επαγωγή.

Ο ισχυρισμός έπεται, λοιπόν, με N=\dfrac{x_n-2}{4}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8024
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 01, 2018 9:58 am

Δίνω ακόμη μία απόδειξη:

Από το διωνυμικό ανάπτυγμα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι a_n,b_n ώστε (\sqrt{2}+1)^n = a_n + b_n\sqrt{2}. Θέλω να δείξω ότι |2b_n^2-a_n^2| = 1 αφού τότε μπορώ να πάρω N = a_n^2 ή N = 2b_n^2 ανάλογα με το πιο είναι το μικρότερο.

Ο ισχυρισμός ισχύει για n=1 αφού a_1 = b_1 = 1 και 2b_1^2 - a_1 = 1. Έστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για n=k. Τότε

\displaystyle  (\sqrt{2}+1)^{k+1} = (a_k + b_k\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = (a_k + 2b_k) + (a_k+b_k)\sqrt{2}

οπότε a_{k+1} = a_k + 2b_k και b_{k+1} = a_k+b_k. Τότε όμως

\displaystyle |2b_{k+1}^2-a_{k+1}^2| = |2(a_k+b_k)^2 - (a_k+2b_k)^2| = |2a_k^2 + 4a_kb_k + 2b_k^2 - a_k^2 - 4a_kb_k - 4b_k^2| = |a_k^2-2b_k^2| = 1

Οπότε το ζητούμενο ισχύει από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα με άρρητους

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 01, 2018 12:00 pm

Αυτό που είχα στον νου είναι κοντά στην μέθοδο του Δημήτρη, αλλά με μικροδιαφορές. Ας το δούμε χάριν ποικιλίας.

Από ανάπτυγμα διωνύμου είναι (1+\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}, όπου a_n, \, b_n θετικοί ακέραιοι, οπότε και \displaystyle{(1+\sqrt{2})^n = \sqrt {a_n^2} + \sqrt {2b_n^2}, \, (*)}. Εύκολα βλέπουμε (γνωστό άλλωστε) ότι ισχύει για τα ίδια αυτά a_n, \, b_n η σχέση (1-\sqrt{2})^n = a_n - b_n\sqrt{2} (αιτία: το δεύτερο ανάπτυγμα είναι άθροισμα όρων της μορφής c_k(-\sqrt 2)^k που για άρτιο k είναι ο ίδιος ακέραιος με τον αντίστοιχο όρο του αναπτύγματος (1+\sqrt{2})^n ενώ για περιττό είναι -d_k\sqrt 2 στο ένα ανάπτυγμα και d_k\sqrt 2 στο άλλο).

Πολλαπλασιάζοντας τις δύο κατά μέλη είναι (-1)^n = a_n^2-2b_n^2. Άρα \displaystyle{2b_n^2= a_n^2\pm 1} που σημαίνει ότι οι ποσότητες μέσα στις ρίζες στην (*) διαφέρουν κατά 1. Παίρνουμε λοιπόν N τον μικρότερο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης