Δεκαδικό ανάπτυγμα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10999
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Δεκαδικό ανάπτυγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 12, 2018 6:35 pm

Αν γράψουμε (3-2\sqrt 2)^4=a,bcd... (δεκαδικό ανάπτυγμα), πόσο είναι το d;

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στα παιδιά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8058
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δεκαδικό ανάπτυγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 14, 2018 9:51 am

Παρατηρώ ότι \displaystyle  3-2\sqrt{2} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}. Είναι (3+2\sqrt{2})^2 = 17+12\sqrt{2} και

\displaystyle \displaystyle{(3+2\sqrt{2})^4 = 289+288+408\sqrt{2} = 577 + 408\sqrt{2} > 577 + 408 \cdot \frac{14}{10} > 577 + 400 \cdot \frac{14}{10} = 577 + 560 > 1000}

Άρα \displaystyle (3-2\sqrt{2})^4 <  \frac{1}{1000} οπότε είναι d=0.

\rule{500pt}{0.5pt}

Διαφορετικά: Παρατηρώ ότι τα 3\pm 2\sqrt{2} είναι ρίζες της x^2-6x+1=0. Οπότε το a_n = (3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n ικανοποιεί την αναδρομική σχέση a_{n+2} = 6a_{n+1} - a_n με αρχικούς όρους a_0 = 2 και a_1 = 6. Από την αναδρομική σχέση έχουμε a_2=34,a_3=198 και a_4=1154. Αν όμως θέσω x = (3-2\sqrt{2})^4 τότε a_4 = x + 1/x = 1154 και επειδή x < 1 είναι 1/x > 1153 και άρα x < 1/1153. Οπότε είναι d=0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10999
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δεκαδικό ανάπτυγμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 14, 2018 9:40 pm

Παραλλαγή:

\displaystyle{3-2\sqrt 2 < 3-2\times \dfrac {1414}{1000}=  \frac {3000-2828}{1000}=  \dfrac {172}{1000} < \dfrac {7\times 25}{1000} = \dfrac {7}{40}}.

Άρα

\displaystyle{(3-2\sqrt 2)^4 <  \left (\dfrac {7}{4}\right )^4\times 10^{-4}=  \dfrac {2401}{256} \times 10^{-4}< 10  \times 10^{-4}= 10^{-3}}

που σημαίνει ότι το ακέραιο μέρος και τα τρία πρώτα δεκαδικά ψηφία είναι 0.

(Έλεγχος με κομπιουτεράκι \displaystyle{ (3-2\sqrt 2)^4= 0,0008665517})


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης