Ελάχιστη τιμή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστη τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 11, 2018 6:16 pm

Να βρείτε, χωρίς τη χρήση των παραγώγων, την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \displaystyle f(x) = \sqrt {1 + \frac{4}{x}}  - \sqrt {1 - x} , \displaystyle x \in (0,1]



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1319
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ελάχιστη τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Σεπ 11, 2018 6:32 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 11, 2018 6:16 pm
Να βρείτε, χωρίς τη χρήση των παραγώγων, την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \displaystyle f(x) = \sqrt {1 + \frac{4}{x}}  - \sqrt {1 - x} , \displaystyle x \in (0,1]
Γεια σου Γιώργο!

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι f(x)>0, για κάθε x \in (0,1]. Πράγματι, αφού x>0 είναι \sqrt{1+\dfrac{4}{x}}>1>\sqrt{1-x} \Rightarrow f(x)=\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}>0.

Είναι f^2(x)=2+\dfrac{4}{x}-x-2\sqrt{\dfrac{4}{x}-x-3} και αν \dfrac{4}{x}-x-3=t^2, t \geqslant 0 είναι f^2(x)=t^2+5-2t=(t-1)^2+4 \geqslant 4, άρα f^2(x) \geqslant 4 \Rightarrow f(x) \geqslant 2, αφού f(x)>0.

Πρέπει όμως να ελέγξουμε αν επιτυγχάνεται η ισότητα. Είναι t=1 \Rightarrow \dfrac{4}{x}-x=4 \Rightarrow x^2+4x-4=0 \Rightarrow x=2\sqrt{2}-2, αφού x>0.

Τελικά, \rm min f(x)=2 για x=2\sqrt{2}-2.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 11, 2018 10:34 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τρί Σεπ 11, 2018 6:32 pm
george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 11, 2018 6:16 pm
Να βρείτε, χωρίς τη χρήση των παραγώγων, την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \displaystyle f(x) = \sqrt {1 + \frac{4}{x}}  - \sqrt {1 - x} , \displaystyle x \in (0,1]
Γεια σου Γιώργο!

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι f(x)>0, για κάθε x \in (0,1]. Πράγματι, αφού x>0 είναι \sqrt{1+\dfrac{4}{x}}>1>\sqrt{1-x} \Rightarrow f(x)=\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}>0.

Είναι f^2(x)=2+\dfrac{4}{x}-x-2\sqrt{\dfrac{4}{x}-x-3} και αν \dfrac{4}{x}-x-3=t^2, t \geqslant 0 είναι f^2(x)=t^2+5-2t=(t-1)^2+4 \geqslant 4, άρα f^2(x) \geqslant 4 \Rightarrow f(x) \geqslant 2, αφού f(x)>0.

Πρέπει όμως να ελέγξουμε αν επιτυγχάνεται η ισότητα. Είναι t=1 \Rightarrow \dfrac{4}{x}-x=4 \Rightarrow x^2+4x-4=0 \Rightarrow x=2\sqrt{2}-2, αφού x>0.

Τελικά, \rm min f(x)=2 για x=2\sqrt{2}-2.
Έτσι ακριβώς, Ορέστη! :clap2:


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6102
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ελάχιστη τιμή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Σεπ 11, 2018 10:43 pm

Και λίγο διαφορετικά:

\displaystyle{a=\sqrt{1+\frac{4}{x}}\implies x=\frac{4}{a^2-1}, a\geq \sqrt{5}},

\displaystyle{b=\sqrt{1-x}\implies x=1-b^2, b\in {0,1).}

Πλέον αναζητούμε το ελάχιστο της παράστασης \displaystyle{K=a-b,}

όταν

\displaystyle{\frac{4}{a^2-1}=1-b^2\iff a^2+b^2-a^2b^2=5\iff (a-b)^2=4+(ab-1)^2}.

Από εδώ προκύπτει \displaystyle{K\geq 2,} με την ισότητα όταν \displaystyle{a-b=2,ab=1,} οπότε \displaystyle{b=\sqrt{2}-1.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη τιμή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 12, 2018 2:06 pm

matha έγραψε:
Τρί Σεπ 11, 2018 10:43 pm
Και λίγο διαφορετικά:

\displaystyle{a=\sqrt{1+\frac{4}{x}}\implies x=\frac{4}{a^2-1}, a\geq \sqrt{5}},

\displaystyle{b=\sqrt{1-x}\implies x=1-b^2, b\in {0,1).}

Πλέον αναζητούμε το ελάχιστο της παράστασης \displaystyle{K=a-b,}

όταν

\displaystyle{\frac{4}{a^2-1}=1-b^2\iff a^2+b^2-a^2b^2=5\iff (a-b)^2=4+(ab-1)^2}.

Από εδώ προκύπτει \displaystyle{K\geq 2,} με την ισότητα όταν \displaystyle{a-b=2,ab=1,} οπότε \displaystyle{b=\sqrt{2}-1.}
Έξυπνη κίνηση :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης