Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Σεπ 10, 2018 10:26 pm

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, ο A={2017}^{2018} ή ο B={2018}^{2017};

Η άσκηση είναι ιδιοκατασκευή - Clopyright !


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Σεπ 10, 2018 11:17 pm

Η παράγωγος της x^{1/x} είναι η \frac{x^{1/x}}{x^2}(1-ln(x)) και άρα στα "x" που ενδιαφερόμαστε είναι φθίνουσα:2018^{\frac{1}{2018}}< 2017^{\frac{1}{2017}} κλπ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11231
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 10, 2018 11:26 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Δευ Σεπ 10, 2018 10:26 pm
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, ο A={2017}^{2018} ή ο B={2018}^{2017};
Με χρήση παραγώγων :oops: είναι προσιτή: Παραγωγίζοντας την \frac {\ln x}{x} (δίνει \frac {1-ln x}{x^2}) βλέπουμε ότι για e< x είναι γνήσια φθίνουσα. Άρα

\frac {\ln 2018}{2018} < \frac {\ln 2107}{2017} ή αλλιώς  2018^ {2017} <  2107 ^{2018} .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11231
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 10, 2018 11:37 pm

Με χρήση του αναπτύγματος του διωνύμου είναι απλό και γνωστό ότι \left ( 1+\frac{1}{n} \right ) ^n < 3 (είναι μάλιστα \approx e).

Άρα \left (\dfrac{2018}{2017} \right ) ^{2017} = \left ( 1+\dfrac{1}{2017} \right ) ^{2017} < 3 < 2017 από όπου το ζητούμενο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 11, 2018 12:26 am

Αν αντί της ανισότητας (1+\frac{1}{n})^{n}< 3 πάρουμε την (1+\frac{1}{n})^{n}< 4
μπορεί να βγει και χωρίς το διώνυμο.
Με Bernouli (είναι γνωστά) αποδεικνύεται ότι (1+\frac{1}{n})^{n}< (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}

και (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}< (1+\frac{1}{n})^{n+1}

Επειδή προφανώς (1+\frac{1}{n})^{n}< (1+\frac{1}{n})^{n+1}

παίρνουμε ότι για φυσικούς n,k είναι

(1+\frac{1}{n})^{n}< (1+\frac{1}{k})^{k+1}

Για k=1 την πήραμε.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Σεπ 11, 2018 1:18 am

Αρκεί να βρούμε ποιος από τους log_{2017}A,log_{2017}B είναι μεγαλύτερος

log_{2017}B=log_{2017}2018^{2017}=2017log_{2017}2018=2017\cdot log_{2017}2017\frac{2018}{2017}=2017(log_{2017}2017+log_{2017}\frac{2018}{2017})=2017+log_{2017}\frac{2018}{2017}<2017+1=2018log_{2017}2017=log_{2017}2017^{2018}=log_{2017}A

Oπότε A>B


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11231
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 11, 2018 1:36 am

Για ξαναδές αυτό το βήμα
Xriiiiistos έγραψε:
Τρί Σεπ 11, 2018 1:18 am

2017(log_{2017}2017+log_{2017}\frac{2018}{2017})=2017+log_{2017}\frac{2018}{2017}


min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Σεπ 11, 2018 12:44 pm

Διαφορετικά είναι :2017=1+\frac{2016}{2017}+\frac{2016}{2017}+...
όπου οι όροι είναι 2018.Επειδή η x^{18} είναι αύξουσα(στο R_{\geq 0} πάντα)
,και επειδή 2017=1+\frac{2016}{2017}+\frac{2016}{2017}+...\geqslant 2018\sqrt[2018]{\frac{2016^{2017}}{2017^{2017}}} αρκεί να δειχτεί ότι 2018^{2018}\cdot \frac{2016^{2017}}{2017^{2017}}> 2018^{2017} και τελικά 2016^{2017}> 2017^{2016}:επαγωγικά φτάνουμε στην 3^4>4^3 που ισχύει...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης