mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 10, 2018 6:29 pm**

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 10, 2018 7:13 pm**

Για

, έχουμε πως f(f(x))=f(x)+3x

(1).

Έστω f(x_1)=f(x_2)

. Τότε:

$f(f(x_1))=f(f(x_2))\Leftrightarrow f(f(x_1))-f(x_1)=f(f(x_2))-f(x_2)\Leftrightarrow 3x_1=3x_2\Leftrightarrow x_1=x_2$ . Άρα η

είναι

.

Θέτουμε στην (1) x=0

, επομένως $f(f(0))=f(0)\Leftrightarrow f(0)=0$ .

Για x=0

και

στην αρχική παίρνουμε ότι $f(2)=2f(2)\Leftrightarrow f(2)=0=f(0)\Leftrightarrow 2=0$ , άτοπο.

Επομένως δεν υπάρχει

που να ικανοποιεί την αρχική.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 10, 2018 7:19 pm**

mathematica.gr

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση