Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10999
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιουν 09, 2018 4:16 pm

Μία Αριθμητική πρόοδος αποτελείται από ακεραίους. Δείξτε ότι αν κάποιος όρος της είναι τέλειο τετράγωνο, τότε
άπειροι το πλήθος όροι της θα είναι τέλεια τετράγωνα.

Ας την αφήσουμε 48 ώρες για τους μαθητές μας.



Λέξεις Κλειδιά:
sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Σάβ Ιουν 09, 2018 5:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιουν 09, 2018 4:16 pm
Μία Αριθμητική πρόοδος αποτελείται από ακεραίους. Δείξτε ότι αν κάποιος όρος της είναι τέλειο τετράγωνο, τότε
άπειροι το πλήθος όροι της θα είναι τέλεια τετράγωνα.

Ας την αφήσουμε 48 ώρες για τους μαθητές μας.
Αν a_{k}=m^2=a_1 + (k-1)\omega τότε
m^2 +2lm\omega + l^2\omega ^2=a_1 + (k-1)\omega +2lm\omega + l^2\omega ^2 \Rightarrow  
(m+l\omega )^2=a_1 + (k-1+2lm+l^2\omega )\omega
Άρα αν ο k-οστός όρος είναι τέλειο τετράγωνο, θα είναι και ο k+2lm+l^2\omega-οστός


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10999
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιουν 09, 2018 5:43 pm

sokpanvas έγραψε:
Σάβ Ιουν 09, 2018 5:05 pm
Αν a_{k}=m^2=a_1 + (k-1)\omega τότε
m^2 +2lm\omega + l^2\omega ^2=a_1 + (k-1)\omega +2lm\omega + l^2\omega ^2 \Rightarrow  
(m+l\omega )^2=a_1 + (k-1+2lm+l^2\omega )\omega
Άρα αν ο k-οστός όρος είναι τέλειο τετράγωνο, θα είναι και ο k+2lm+l^2\omega-οστός
:10sta10:

Ας προσθέσω ότι, γενικότερα, αν p πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και αν κάποιος όρος της προόδου είναι
της μορφής p(a), τότε οι όροι p(a) + \frac {p(a+n\omega)-p(a)}{\omega}\omega είναι άπειροι όροι της ίδιας μορφής.

(Παρατηρούμε ότι ο \frac {p(a+n\omega)-p(a)}{\omega} είναι ακέραιος).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης