Ακέραιο σύστημα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ακέραιο σύστημα
Να βρείτε τις μη αρνητικές τιμές που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός , αν ικανοποιεί τις παρακάτω εξισώσεις
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ακέραιο σύστημα
Καλησπέρα σας. Αναρτώ τη λύση μου με επιφυλακτικότητα ως προς την εγκυρότητά της.
Έχουμε:
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει ότι:
Προφανώς πρέπει και επομένως για να έχει λύση η εξίσωση πρέπει
Ακόμα αφού συμπεραίνουμε ότι και
Έστω για ευκολία με
Συνεπώς:
Η διακρίνουσα του τριωνύμου (ως προς ) είναι: και άρα
Εκτελώντας τις πράξεις στην περίπτωση του γρήγορα καταλήγουμε σε μια αδύνατη εξίσωση.
Στην περίπτωση του έχουμε:
Αντικαθιστούμε το με οπότε:
Εκτελώντας τώρα τις πράξεις (λίγο επίπονη διαδικασία την οποία θα παραλείψω) η εξίσωση απλοποιείται ως εξής:
από την οποία εύκολα προκύπτει οτι ή οι οποίες είναι δεκτές λύσεις.
Μάλιστα η λύση προκύπτει όταν
Συνεπώς, οι λύσεις του συστήματος είναι οι
Έχουμε:
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει ότι:
Προφανώς πρέπει και επομένως για να έχει λύση η εξίσωση πρέπει
Ακόμα αφού συμπεραίνουμε ότι και
Έστω για ευκολία με
Συνεπώς:
Η διακρίνουσα του τριωνύμου (ως προς ) είναι: και άρα
Εκτελώντας τις πράξεις στην περίπτωση του γρήγορα καταλήγουμε σε μια αδύνατη εξίσωση.
Στην περίπτωση του έχουμε:
Αντικαθιστούμε το με οπότε:
Εκτελώντας τώρα τις πράξεις (λίγο επίπονη διαδικασία την οποία θα παραλείψω) η εξίσωση απλοποιείται ως εξής:
από την οποία εύκολα προκύπτει οτι ή οι οποίες είναι δεκτές λύσεις.
Μάλιστα η λύση προκύπτει όταν
Συνεπώς, οι λύσεις του συστήματος είναι οι
τελευταία επεξεργασία από Chagi σε Πέμ Ιούλ 05, 2018 10:52 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ακέραιο σύστημα
Δεν μου φαίνεται και πολύ προφανές αυτό το κομμάτι, πως καταλήγεις σε αδύνατη εξίσωση;
Το ότι το μηδέν δεν μπορεί να είναι λύση φαίνεται εύκολα αν το αντικαταστήσεις στο αρχικό σύστημα. Το πρώτο μέλος των εξισώσεων θα είναι ίσο με μηδέν ενώ το δεύτερο δεν μπορεί να είναι ποτέ μηδέν.
Re: Ακέραιο σύστημα
Αν δεν έχω κάνει κάπου λάθος στην πρώτη εξίσωση καταλήγω σε άθροισμα ριζών που ισούται με αρνητικό αριθμό.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 05, 2018 10:19 amΔεν μου φαίνεται και πολύ προφανές αυτό το κομμάτι, πως καταλήγεις σε αδύνατη εξίσωση;
Το ότι το μηδέν δεν μπορεί να είναι λύση φαίνεται εύκολα αν το αντικαταστήσεις στο αρχικό σύστημα. Το πρώτο μέλος των εξισώσεων θα είναι ίσο με μηδέν ενώ το δεύτερο δεν μπορεί να είναι ποτέ μηδέν.
Όσο για το γεγονός ότι δέχτηκα τη λύση Αλλά αυτά παθαίνει κάποιος όταν δεν επαληθεύει.
Από περιέργεια υπάρχει πιο γρήγορος τρόπος που οδηγεί στην επίλυση της άσκησης;
Σας ευχαριστώ!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ακέραιο σύστημα
Η αλήθεια είναι δεν έχω κάνει τις πράξεις που αναφαίρεις, οπότε δεν ξέρω αν είναι σωστές και υπάρχουν λογικά κενά.Chagi έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 05, 2018 10:44 am
Αν δεν έχω κάνει κάπου λάθος στην πρώτη εξίσωση καταλήγω σε άθροισμα ριζών που ισούται με αρνητικό αριθμό.
Όσο για το γεγονός ότι δέχτηκα τη λύση Αλλά αυτά παθαίνει κάποιος όταν δεν επαληθεύει.
Από περιέργεια υπάρχει πιο γρήγορος τρόπος που οδηγεί στην επίλυση της άσκησης;
Σας ευχαριστώ!
Πάντως υπάρχουν και άλλες λύσεις εκτός από τη μονάδα. Για παράδειγμα αν πάρεις θα δεις οτι υπάρχουν ακέραιοι που επαληθεύουν το σύστημα.
Ας περιμένουμε λίγο ακόμα σε περίπτωση που θέλει να το προσπαθήσει και κάποιος άλλος, αλλιώς θα ανεβάσω μια λύση (δεν θα την έλεγα σύντομη) τις επόμενες μέρες ...
Re: Ακέραιο σύστημα
Έστω
Έχουμε:
Με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε:
. Άρα
Έστω με και
Έχουμε:
Με πρόσθεση κατά μέλη: . 'Αρα υπάρχει με . Άρα , οπότε ή . Άρα υπάρχει με . Η δεύτερη σχέση του συστήματος γράφεται: . Δουλεύοντας με έχουμε . Άρα . Στις αρχικές σχέσεις δουλεύοντας με βλέπουμε ότι επαληθεύονται μόνο με . Άρα πρέπει και αρκεί να υπάρχει με . edit: μικρή διόρθωση.
Έχουμε:
Με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε:
. Άρα
Έστω με και
Έχουμε:
Με πρόσθεση κατά μέλη: . 'Αρα υπάρχει με . Άρα , οπότε ή . Άρα υπάρχει με . Η δεύτερη σχέση του συστήματος γράφεται: . Δουλεύοντας με έχουμε . Άρα . Στις αρχικές σχέσεις δουλεύοντας με βλέπουμε ότι επαληθεύονται μόνο με . Άρα πρέπει και αρκεί να υπάρχει με . edit: μικρή διόρθωση.
τελευταία επεξεργασία από sov_arvyd σε Παρ Ιούλ 06, 2018 1:38 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ακέραιο σύστημα
sov_arvyd έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 05, 2018 6:47 pmΈστω
Έχουμε:
Με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε:
. Άρα
Έστω με και
Έχουμε:
Με πρόσθεση κατά μέλη: . 'Αρα υπάρχει με . Άρα , οπότε ή . Άρα υπάρχει με . Η δεύτερη σχέση του συστήματος γράφεται: . Δουλεύοντας με έχουμε . Άρα . Στις αρχικές σχέσεις δουλεύοντας με βλέπουμε ότι επαληθεύονται μόνο με . Άρα πρέπει και αρκεί να υπάρχει με .
Ο sov_arvyd μόλις έλυσε και το πρόβλημα εδώ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες