mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 15, 2018 10:07 pm**

Με αφορμή το 4ο πρόβλημα της Γ' Γυμνασίου του Παγκύπριου διαγωνισμού 2017 εδώ.

Αν το άθροισμα των ακέραιων αριθμών a, b, c, d

είναι μηδέν, να δείξετε, ότι ο αριθμός

$\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{2} + 2 abcd$

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 15, 2018 10:25 pm**

Ας είναι $\displaystyle{t^4+kt^2-\ell t+m=0}$ εξίσωση 4ου βαθμού με ρίζες τις $\displaystyle{a,b,c,d,}$ όπου $\displaystyle{k=\sum ab, \ell =\sum abc, m=abcd.}$

Ισχύει

$\displaystyle{a^4+ka^2-\ell a+m=0\implies \sum a^4+4m=-k(\sum a^2).}$

Όμως είναι $\displaystyle{\sum a=0,}$ άρα $\displaystyle{\sum a^2=-2\sum ab.}$

Επομένως από την προηγούμενη σχέση προκύπτει $\displaystyle{\sum a^4+4abcd=2(\sum ab)^2,}$

δηλαδή το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 15, 2018 11:46 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 15, 2018 10:07 pm
Με αφορμή το 4ο πρόβλημα της Γ' Γυμνασίου του Παγκύπριου διαγωνισμού 2017 εδώ.

Αν το άθροισμα των ακέραιων αριθμών είναι μηδέν, να δείξετε, ότι ο αριθμός

$\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{2} + 2 abcd$

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Επειδή με έτρωγε η περιέργεια χρησιμοποίησα λογισμικό για να διαπιστώσω ότι γράφοντας d=-a-b-c

η δοθείσα παράσταση ισούται

$\frac {a^4+b^4+c^4 + (-a-b-c)^4}{2} + 2abc(-a-b-c) =$

=a^4+b^4+c^4+4a^2bc+4ab^2c+4abc^2+3a^2b^2+3b^2c^2+3c^2a^2+2a^3b+2ab^3+2b^3c+2bc^3+2c^3a+2ac^3

. Όπερ έδει δείξε, κλέβοντας λιγάκι.

mathematica.gr

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο