Τέλειο τετράγωνο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 767
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τέλειο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Μάιος 15, 2018 10:07 pm

Με αφορμή το 4ο πρόβλημα της Γ' Γυμνασίου του Παγκύπριου διαγωνισμού 2017 εδώ.

Αν το άθροισμα των ακέραιων αριθμών a, b, c, d είναι μηδέν, να δείξετε, ότι ο αριθμός

\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{2} + 2 abcd

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τέλειο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μάιος 15, 2018 10:25 pm

Ας είναι \displaystyle{t^4+kt^2-\ell t+m=0} εξίσωση 4ου βαθμού με ρίζες τις \displaystyle{a,b,c,d,} όπου \displaystyle{k=\sum ab, \ell =\sum abc, m=abcd.}

Ισχύει

\displaystyle{a^4+ka^2-\ell a+m=0\implies \sum a^4+4m=-k(\sum a^2).}

Όμως είναι \displaystyle{\sum a=0,} άρα \displaystyle{\sum a^2=-2\sum ab.}

Επομένως από την προηγούμενη σχέση προκύπτει \displaystyle{\sum a^4+4abcd=2(\sum ab)^2,}

δηλαδή το ζητούμενο.


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10637
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τέλειο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 15, 2018 11:46 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τρί Μάιος 15, 2018 10:07 pm
Με αφορμή το 4ο πρόβλημα της Γ' Γυμνασίου του Παγκύπριου διαγωνισμού 2017 εδώ.

Αν το άθροισμα των ακέραιων αριθμών a, b, c, d είναι μηδέν, να δείξετε, ότι ο αριθμός

\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{2} + 2 abcd

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Επειδή με έτρωγε η περιέργεια χρησιμοποίησα λογισμικό για να διαπιστώσω ότι γράφοντας d=-a-b-c η δοθείσα παράσταση ισούται

 \frac {a^4+b^4+c^4 + (-a-b-c)^4}{2} + 2abc(-a-b-c) =

=a^4+b^4+c^4+4a^2bc+4ab^2c+4abc^2+3a^2b^2+3b^2c^2+3c^2a^2+2a^3b+2ab^3+2b^3c+2bc^3+2c^3a+2ac^3

= (a^2+b^2+c^2+ab+ bc+ca)^2. Όπερ έδει δείξε, κλέβοντας λιγάκι.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: rek2 και 2 επισκέπτες