Ανισότητα μιας μεταβλητής!

#1

Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ισχύει

$\displaystyle{\rm x\left(2\cdot 3^x-\frac{4x^2+x+2}{x^2+x+1}\right)\geq 0.}$

KARKAR · #2

Ισοδύναμα θέλω : $x(3^x-\dfrac{4x^2+x+2}{2x^2+2x+2})\geq 0$

Για x=0

ισχύει ως ισότητα .

Για x>0

, επειδή : $3^x>e^x>x+1>\dfrac{4x^2+x+2}{2x^2+2x+2}$ , ισχύει ως γνήσια ανισότητα .

Για x<0

, είναι

και $\dfrac{4x^2+x+2}{2x^2+2x+2}>1$ και τελειώσαμε .

Η πρώτη ενδιάμεση ισοδυναμεί με την 2x^3+3x>0

,που ισχύει αφού x>0

και η δεύτερη στην 2x^3-x>0

που επίσης ισχύει , αφού x<0

..

KARKAR · #3

Ένα γράφημα δεν ενοχλεί κανέναν ...