Άθροισμα αντιστρόφων!

#1

Αν $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ είναι διακεκριμένοι περιττοί θετικοί ακέραιοι καθένας εκ των οποίων δεν έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο του $\displaystyle{5}$ , να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}<2.}$

#2

matha έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 9:24 am
Αν $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ είναι περιττοί θετικοί ακέραιοι καθένας εκ των οποίων δεν έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο του $\displaystyle{5}$ , να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}<2.}$

Θα υποθέσω ακόμη ότι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο (αλλιώς δεν ισχύει).

Όλοι οι αριθμοί είναι της μορφής 3^m5^n

(με $m,n\in \mathbb N$ ). Αν P,Q

οι μεγαλύτεροι εκθέτες που συναντάμε, δηλαδή είναι $0\le m \le P, \, 0\le n \le Q$ , τότε το δοθέν είναι

$\displaystyle{ \le \left (1+\frac {1}{3}+ \frac {1}{3^2}+ ... + \frac {1}{3^P} \right ) \left (1+\frac {1}{5}+ \frac {1}{5^2}+ ... + \frac {1}{5^Q} \right ) }$

διότι το άνοιγμα των παρενθέσεων εμφανίζει όλα τα $3^m5^n, \, 0\le m \le P, \, 0\le n \le Q$ ως παρονομαστές.

Το τελευταίο είναι μικρότερο από από το αντίστοιχο απειροάθροισμα γεωμετρικής προόδου, που είναι $\displaystyle{ \dfrac {1} {1-\dfrac {1}{3}}\dfrac {1} {1-\dfrac {1}{5}}= \dfrac {15} {8} <2}$

(Έκανα κάπως μακρόσυρτη λύση για να αποφύγω ιδιότητες των απειροσειρών που είναι εκτός ύλης, πλην του τελευταίου βήματος που είναι εντός. Θα είχα γλυτώσει τα περί

και

).

Άθροισμα αντιστρόφων!

Άθροισμα αντιστρόφων!

Re: Άθροισμα αντιστρόφων!

Μέλη σε σύνδεση