ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σήμερα σας προτείνω το θέμα 146 από το αρχείο του Θάνου.Το έλυσα την Τρίτη το πρωί σε ένα κενό στο σχολείο...

Αν x,y> 0

με $x^{2}+y^{2}=1$ , αποδείξτε ότι $x^{3}+y^{3}\geq \sqrt{2}xy.$

harrisp · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2017 2:42 pm
Σήμερα σας προτείνω το θέμα 146 από το αρχείο του Θάνου.Το έλυσα την Τρίτη το πρωί σε ένα κενό στο σχολείο...

Αν με $x^{2}+y^{2}=1$ , αποδείξτε ότι $x^{3}+y^{3}\geq \sqrt{2}xy.$

Καλησπέρα σας!

Είναι LHS = (x+y)(x^2+y^2-xy)=(x+y)(1-xy)=x+y-x^2y-xy^2

. Αρα αρκεί μετά από παραγοντοποίηση $\dfrac {x+y}{xy}\geq x+y+\sqrt {2}$ . Με χρήση της $\dfrac {x+y}{xy}\geq \dfrac {4}{x+y}$ και πολλαπλασιάζοντας με x+y

έχουμε $4\geq (x+y)^2+\sqrt {2} (x+y)$ που ισχύει αφού $x+y\leq \sqrt 2$ .

harrisp · #3

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ

Αν

θετικός ακέραιος και x,y>0

με $x^{2n}+y^{2n}=1$ τότε:

$x^{3n}+y^{3n}\geq \sqrt {2} x^ny^n$

JimNt. · #4

Aπό την δυνάμεων παίρνουμε $x^{3n}+y^{3n} \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ και αφού $x^ny^n \le \dfrac{x^{2n}+y^{2n}}{2}=\dfrac{1}{2}$ το ζητούμενο είναι προφανές.

#5

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2017 8:54 pm
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ

Αν θετικός ακέραιος και με $x^{2n}+y^{2n}=1$ τότε:

$x^{3n}+y^{3n}\geq \sqrt {2} x^ny^n$

Μπορούμε ουσιαστικά να την λάβουμε αμέσως από την πρώτη ανισότητα αν θέσουμε a = x^n

και

.

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2017 2:42 pm

Αν με $x^{2}+y^{2}=1$ , αποδείξτε ότι $x^{3}+y^{3}\geq \sqrt{2}xy.$

Ας δοκιμάσουμε ομογενοποίηση. Αρκεί να δείξουμε ότι
$(x^3+y^3)^2\geq 2x^2y^2(x^2+y^2)$

$x^6-2x^4y^2+2x^3y^3-2x^2y^4+y^6\geq 0$

$(x^6-2x^4y^2+x^2y^4)+(x^4y^2-2x^2y^4+y^6)\geq x^4y^2-2x^3y^3+x^2y^4$

$x^2(x+y)^2(x-y)^2+y^2(x+y)^2(x-y)^2-x^2y^2(x-y)^2\geq 0$

$(x-y)^2(x^4+2x^3y+x^2y^2+2xy^3+y^4)\geq 0$ που προφανώς ισχύει.

(Η τελευταία παραγοντοποίηση γίνεται άκοπα και με το σχήμα Horner.)

#7

Για ποικιλία, ας δούμε ακόμα μια απόδειξη:

Είναι

$\displaystyle{x^3+y^3 \geq \frac{(x^2+y^2)(x+y)}{2}=\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}}$ (γιατί;), οπότε αρκεί $\displaystyle{\sqrt{xy}\geq \sqrt{2}xy,}$ δηλαδή $\displaystyle{xy\leq \frac{1}{2}.}$

Αυτή είναι συνέπεια της $\displaystyle{x^2+y^2\geq 2xy.}$

#8

Συνεισφέροντας στην ποικιλία του Θάνου

Δοκιμάζω τριγωνομετρική αντικατάσταση θέτοντας $\sin a=x$ και $\cos a=y$ με $a\in (0,\dfrac{\pi}{2}).$ Αρκεί

$(\sin a+\cos a)(1-\sin a\cos a)\geq \sqrt 2\sin a\cos a$

$(\sin a+\cos a)(2-\sin 2a)\geq \sqrt 2\sin 2a$ και υψώνοντας στο τετράγωνο

$(1+\sin 2a)(2-\sin 2a)^2\geq 2\sin^2 2a$ και θέτοντας $z=\sin 2a$ αρκεί

$z^3-5z^2+4\geq 0$ ή

$(1-z)(4z+4-z^2)\geq 0$ που προφανώς ισχύει.

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Μέλη σε σύνδεση