Σύνολο τιμών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 818
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Σεπ 13, 2017 2:54 pm

Έστω

 \Displaystyle{ f(x,y) = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y  }

 \Displaystyle{ g(x,y) = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y  } .

Να βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει τουλάχιστον μια εκ των παραπάνω συναρτήσεων.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιαν 27, 2019 9:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1695
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιαν 27, 2019 3:45 pm

Επαναφορά. :coolspeak:


Altrian
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm

Μια προσπάθεια.

Εστω h(x)=-6x^{2}-14y^{2}-18xy+6 με μεταβλητή την x και παράμετρο την y.
Θα πρέπει h(x)\geq 0 δηλ. ετερόσημο του a άρα με διακρίνουσα μη αρνητική και το x να κινείται εντός των ριζών.
\Delta =(-18y)^{2}-4(-6)(6-14y^{2})=144-12y^{2}\geq 0\Rightarrow
-\sqrt{12}\leq y\leq \sqrt{12}
Για κάθε πιθανό y η h(x)\rightarrow max για x=-b/2a=-3y/2. Τότε h_{max}(x)=h(-3y/2)=6-y^{2}/2.
Τώρα αναζητούμε το y όπου μεγιστοποιείται η f(x,y)=f_{max}(y)=\sqrt{6-y^{2}/2}+y.
Με παραγώγιση βρίσκουμε ότι έχουμε μέγιστο για y=\sqrt{8}
Τότε το μέγιστο είναι: f_{max}(x,y)=\sqrt{2}+\sqrt{8}
Το ελάχιστο της f(x,y) λαμβάνεται για y=-\sqrt{12} γιατί τότε h_{max}(x)=0 που είναι και ελάχιστη αποδεκτή τιμή για το ριζικό, ενώ έχουμε και την ελάχιστη αποδεκτή τιμή του y.
Αρα f_{min}(x,y)=-\sqrt{12}.
Συνοψίζοντας έχουμε ότι το πεδίο τιμών της f(x,y) είναι \left [ -\sqrt{12} , \sqrt{2} +\sqrt{8}\right ]..
Προφανώς οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο και λαμβάνουμε ότι το πεδίο τιμών της g(x,y) είναι: \left [ -\sqrt{2}-\sqrt{8} , \sqrt{12} \right ]

Τελικά παίρνουμε την ένωση των δύο διαστημάτων που μας δίνει το ζητούμενο:

\left [ -\sqrt{2}-\sqrt{8} , \sqrt{2} +\sqrt{8}\right ]=\left [ -3\sqrt{2} , 3\sqrt{2}\right ]


Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1695
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm

Altrian έγραψε:
Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm
Μια προσπάθεια.

.....
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Πολύ καλό!

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 818
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 30, 2019 10:08 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Σύνολο τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Ιαν 31, 2019 9:19 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 10:08 pm
rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.
Καλημέρα,

Μια κάπως διαφορετική λύση, αλλά εκτός σχολικής ύλης (υποθέτω) είναι με χρήση μερικών παραγώγων. Συγκεκριμένα η λύση του συστήματος:
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0, \frac{\partial f(x,y) }{\partial y}=0
προκύπτει εύκολα και είναι:
y^{2}=8\Rightarrow y=\sqrt{8} (παίρνουμε την μεγαλύτερη), x=-3y/2=\frac{-3\sqrt{8}}{2}
που δίνει τα ακρότατα (εδώ το μέγιστο) της f(x,y)=3\sqrt{2} με την κατάλληλη διερεύνηση.
Με εφαρμογή αυτών και στην g(x,y) καταλήγουμε τελικά στο ίδιο αποτέλεσμα.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2155
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνολο τιμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 31, 2019 1:22 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Altrian έγραψε:
Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm
Μια προσπάθεια.

.....
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Πολύ καλό!

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
Εχουμε ότι

f(x,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-(\sqrt{6}x+\frac{9y}{\sqrt{6}})^{2}}

Αν θέσουμε

X=\sqrt{6}x+\frac{9y}{\sqrt{6}}

γίνεται

f(X,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-X^{2}}

Είναι προφανές (είναι;) ότι οι δύο παραστάσεις έχουν το ίδιο σύνολο τιμών.

Μόνο που η

f(X,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-X^{2}}

είναι πολύ πιο εύκολη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης