Σύνολο τιμών

Al.Koutsouridis

Έστω

$\Displaystyle{ f(x,y) = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y }$

$\Displaystyle{ g(x,y) = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y }$ .

Να βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει τουλάχιστον μια εκ των παραπάνω συναρτήσεων.

Επαναφορά.

Altrian

Μια προσπάθεια.

Εστω $h(x)=-6x^{2}-14y^{2}-18xy+6$ με μεταβλητή την

και παράμετρο την

.
Θα πρέπει $h(x)\geq 0$ δηλ. ετερόσημο του

άρα με διακρίνουσα μη αρνητική και το

να κινείται εντός των ριζών.
$\Delta =(-18y)^{2}-4(-6)(6-14y^{2})=144-12y^{2}\geq 0\Rightarrow$
$-\sqrt{12}\leq y\leq \sqrt{12}$
Για κάθε πιθανό

η $h(x)\rightarrow max$ για x=-b/2a=-3y/2

. Τότε $h_{max}(x)=h(-3y/2)=6-y^{2}/2.$
Τώρα αναζητούμε το

όπου μεγιστοποιείται η $f(x,y)=f_{max}(y)=\sqrt{6-y^{2}/2}+y.$
Με παραγώγιση βρίσκουμε ότι έχουμε μέγιστο για $y=\sqrt{8}$
Τότε το μέγιστο είναι: $f_{max}(x,y)=\sqrt{2}+\sqrt{8}$
Το ελάχιστο της f(x,y)

λαμβάνεται για $y=-\sqrt{12}$ γιατί τότε $h_{max}(x)=0$ που είναι και ελάχιστη αποδεκτή τιμή για το ριζικό, ενώ έχουμε και την ελάχιστη αποδεκτή τιμή του

.
Αρα $f_{min}(x,y)=-\sqrt{12}.$
Συνοψίζοντας έχουμε ότι το πεδίο τιμών της f(x,y)

είναι $\left [ -\sqrt{12} , \sqrt{2} +\sqrt{8}\right ].$ .
Προφανώς οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο και λαμβάνουμε ότι το πεδίο τιμών της g(x,y)

είναι: $\left [ -\sqrt{2}-\sqrt{8} , \sqrt{12} \right ]$

Τελικά παίρνουμε την ένωση των δύο διαστημάτων που μας δίνει το ζητούμενο:

$\left [ -\sqrt{2}-\sqrt{8} , \sqrt{2} +\sqrt{8}\right ]$ $=\left [ -3\sqrt{2} , 3\sqrt{2}\right ]$

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.

Altrian έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm
Μια προσπάθεια.

.....
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.

Πολύ καλό!

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση.

Al.Koutsouridis

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση.

Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.

Altrian

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 30, 2019 10:08 pm

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση.
Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.

Καλημέρα,

Μια κάπως διαφορετική λύση, αλλά εκτός σχολικής ύλης (υποθέτω) είναι με χρήση μερικών παραγώγων. Συγκεκριμένα η λύση του συστήματος:
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0$ , $\frac{\partial f(x,y) }{\partial y}=0$
προκύπτει εύκολα και είναι:
$y^{2}=8\Rightarrow y=\sqrt{8}$ (παίρνουμε την μεγαλύτερη), $x=-3y/2=\frac{-3\sqrt{8}}{2}$
που δίνει τα ακρότατα (εδώ το μέγιστο) της $f(x,y)=3\sqrt{2}$ με την κατάλληλη διερεύνηση.
Με εφαρμογή αυτών και στην g(x,y)

καταλήγουμε τελικά στο ίδιο αποτέλεσμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm

Altrian έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm
Μια προσπάθεια.

.....
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Πολύ καλό!

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση.

Εχουμε ότι

$f(x,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-(\sqrt{6}x+\frac{9y}{\sqrt{6}})^{2}}$

Αν θέσουμε

$X=\sqrt{6}x+\frac{9y}{\sqrt{6}}$

γίνεται

$f(X,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-X^{2}}$

Είναι προφανές (είναι;) ότι οι δύο παραστάσεις έχουν το ίδιο σύνολο τιμών.

Μόνο που η

$f(X,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-X^{2}}$

είναι πολύ πιο εύκολη.

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση