Σύνολο τιμών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 860
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Σεπ 13, 2017 2:54 pm

Έστω

 \Displaystyle{ f(x,y) = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y  }

 \Displaystyle{ g(x,y) = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y  } .

Να βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει τουλάχιστον μια εκ των παραπάνω συναρτήσεων.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιαν 27, 2019 9:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1711
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιαν 27, 2019 3:45 pm

Επαναφορά. :coolspeak:


Altrian
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm

Μια προσπάθεια.

Εστω h(x)=-6x^{2}-14y^{2}-18xy+6 με μεταβλητή την x και παράμετρο την y.
Θα πρέπει h(x)\geq 0 δηλ. ετερόσημο του a άρα με διακρίνουσα μη αρνητική και το x να κινείται εντός των ριζών.
\Delta =(-18y)^{2}-4(-6)(6-14y^{2})=144-12y^{2}\geq 0\Rightarrow
-\sqrt{12}\leq y\leq \sqrt{12}
Για κάθε πιθανό y η h(x)\rightarrow max για x=-b/2a=-3y/2. Τότε h_{max}(x)=h(-3y/2)=6-y^{2}/2.
Τώρα αναζητούμε το y όπου μεγιστοποιείται η f(x,y)=f_{max}(y)=\sqrt{6-y^{2}/2}+y.
Με παραγώγιση βρίσκουμε ότι έχουμε μέγιστο για y=\sqrt{8}
Τότε το μέγιστο είναι: f_{max}(x,y)=\sqrt{2}+\sqrt{8}
Το ελάχιστο της f(x,y) λαμβάνεται για y=-\sqrt{12} γιατί τότε h_{max}(x)=0 που είναι και ελάχιστη αποδεκτή τιμή για το ριζικό, ενώ έχουμε και την ελάχιστη αποδεκτή τιμή του y.
Αρα f_{min}(x,y)=-\sqrt{12}.
Συνοψίζοντας έχουμε ότι το πεδίο τιμών της f(x,y) είναι \left [ -\sqrt{12} , \sqrt{2} +\sqrt{8}\right ]..
Προφανώς οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο και λαμβάνουμε ότι το πεδίο τιμών της g(x,y) είναι: \left [ -\sqrt{2}-\sqrt{8} , \sqrt{12} \right ]

Τελικά παίρνουμε την ένωση των δύο διαστημάτων που μας δίνει το ζητούμενο:

\left [ -\sqrt{2}-\sqrt{8} , \sqrt{2} +\sqrt{8}\right ]=\left [ -3\sqrt{2} , 3\sqrt{2}\right ]


Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1711
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm

Altrian έγραψε:
Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm
Μια προσπάθεια.

.....
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Πολύ καλό!

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 860
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 30, 2019 10:08 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Σύνολο τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Ιαν 31, 2019 9:19 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 10:08 pm
rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.
Καλημέρα,

Μια κάπως διαφορετική λύση, αλλά εκτός σχολικής ύλης (υποθέτω) είναι με χρήση μερικών παραγώγων. Συγκεκριμένα η λύση του συστήματος:
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0, \frac{\partial f(x,y) }{\partial y}=0
προκύπτει εύκολα και είναι:
y^{2}=8\Rightarrow y=\sqrt{8} (παίρνουμε την μεγαλύτερη), x=-3y/2=\frac{-3\sqrt{8}}{2}
που δίνει τα ακρότατα (εδώ το μέγιστο) της f(x,y)=3\sqrt{2} με την κατάλληλη διερεύνηση.
Με εφαρμογή αυτών και στην g(x,y) καταλήγουμε τελικά στο ίδιο αποτέλεσμα.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2249
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνολο τιμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 31, 2019 1:22 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Altrian έγραψε:
Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm
Μια προσπάθεια.

.....
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Πολύ καλό!

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
Εχουμε ότι

f(x,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-(\sqrt{6}x+\frac{9y}{\sqrt{6}})^{2}}

Αν θέσουμε

X=\sqrt{6}x+\frac{9y}{\sqrt{6}}

γίνεται

f(X,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-X^{2}}

Είναι προφανές (είναι;) ότι οι δύο παραστάσεις έχουν το ίδιο σύνολο τιμών.

Μόνο που η

f(X,y)=y+\sqrt{6-\frac{1}{2}y^{2}-X^{2}}

είναι πολύ πιο εύκολη.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 860
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύνολο τιμών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μαρ 16, 2019 2:07 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
Για λόγους πλουραλισμού (και διδακτικούς) παραθέτω παρακάτω την επίσημη λύση:

Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του z, για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα x,y το σύνολο (σύστημα)

\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} 
z-y = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\\  
z-y = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\end{matrix}\right. }

Το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με την εξίσωση

\displaystyle (z-y)^2=-6x^2-14y^2-18xy+6

δηλαδή με την εξίσωση

\displaystyle 6x^2+18xy+(z-y)^2+14y^2-6=0.

η επιλυσιμότητα αυτής της εξίσωσης ως προς x για σταθερά z,y είναι ισοδύναμη με την μη αρνητικότητα της διακρίνουσάς της. Επομένως, το αρχικά ζητούμενο σύνολο συμπίπτει με το σύνολο εκείνων των z, για τα οποία ως προς y είναι επιλύσιμη η ανίσωση

\displaystyle (9y)^2 -6 \left ( \left(z-y \right )^2 +14y^2 -6\right) \geq 0

η οποία γρέφεται στην παρακάτω μορφή:

\displaystyle 3y^2-4yz+2z^2-12 \leq 0.

Αυτή είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν η διακρίνουσά της είναι μη αρνητική. Δηλαδή, όταν

z^2 \leq 18.

Επομένως, το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το διάστημα \left [ -3\sqrt{2}, 3 \sqrt{2} \right ].


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1711
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σύνολο τιμών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:26 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 2:07 pm
rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:

Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του z, για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα x,y το σύνολο (σύστημα)

\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} 
z-y = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\\  
z-y = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\end{matrix}\right. }

Αλέξανδρε, πολύ καλό και σε ευχαριστούμε για τον κόπο και χρόνο που αφιερώνεις για τις αναρτήσεις σου!

Έτσι από ενδιαφέρον θέλω να σε ρωτήσω, στο παραπάνω χρησιμοποιούν την λέξη "σύστημα";


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4284
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σύνολο τιμών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μαρ 17, 2019 9:43 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 2:07 pm
η επιλυσιμότητα αυτής της εξίσωσης ως προς x για σταθερά z,y είναι ισοδύναμη με την μη αρνητικότητα της διακρίνουσάς της. Επομένως, το αρχικά ζητούμενο σύνολο συμπίπτει με το σύνολο εκείνων των z, για τα οποία ως προς y είναι επιλύσιμη η ανίσωση

\displaystyle (9y)^2 -6 \left ( \left(z-y \right )^2 +14y^2 -6\right) \geq 0

η οποία γρέφεται στην παρακάτω μορφή:

\displaystyle 3y^2-4yz+2z^2-12 \leq 0.

Αυτή είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν η διακρίνουσά της είναι μη αρνητική. Δηλαδή, όταν

z^2 \leq 18.

Επομένως, το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το διάστημα \left [ -3\sqrt{2}, 3 \sqrt{2} \right ].
Καλημέρα σε όλους.

Παρατηρώ ότι στην επίσημη λύση που μάς παρουσιάζει ο Αλέξανδρος δεν γίνεται επαλήθευση.

Αναρωτιέμαι αν πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχουν x, y που να ανήκουν στο (κοινό) πεδίο ορισμού των συναρτήσεων για τα οποία να είναι z^2 \leq 18, εφόσον το z δεν είναι ανεξάρτητη παράμετρος, αλλά είναι συνάρτηση των x, y.

Θα ήθελα τη γνώμη σας.

Έχω στο νου μου την πρόσφατη συζήτηση ΕΔΩ.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 860
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύνολο τιμών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μαρ 17, 2019 12:18 pm

rek2 έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:26 am
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 2:07 pm
rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:

Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του z, για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα x,y το σύνολο (σύστημα)

\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} 
z-y = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\\  
z-y = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\end{matrix}\right. }

Έτσι από ενδιαφέρον θέλω να σε ρωτήσω, στο παραπάνω χρησιμοποιούν την λέξη "σύστημα";
Η αλήθεια είναι όχι (θα έπρεπε να χρησιμοποιήσω το σύμβολο της αγκύλης όπως στο πρωτότυπο σελ. 7 και όχι άγκιστρο). Είναι ένα μεταφραστικό ατόπημα από την πλευρά μου λόγω του περιορισμένου των γνώσεων μου σε μαθηματικά, ελληνική ορολογία και ρωσικά. Αν και η μη καλή γνώση ρωσικών δεν έπαιξε σημαντικό ρόλο σε αυτή την περίπτωση.

Η λέξη που χρησιμοποιείται είναι η "совокупность", προφέρεται "σαβακούπνοστ".

Σαβακούπνοστ εξισώσεων (ανισώσεων) ονομάζεται η γραφή που αναπαριστά μια συλλογή μερικών εξισώσεων (ανισώσεων), η μια δίπλα στην άλλη, οι οποίες συνήθως από αριστερά ενώνονται με μια αγκύλη και συμβολίζουν το σύνολο όλων εκείνων των λύσεων, οι οποίες αποτελούν λύση τουλάχιστον μίας εκ των εξισώσεων (ανισώσεων) του σαβακούπνοστ.

Λύση του σαβακούπνοστ δυο, τριών ή περισσότερων μεταβλητών ονομάζεται η δυάδα, τριάδα κτλ. τιμών των μεταβλητών, που αποτελούν λύση τουλάχιστον μιας εκ των εξισώσεων (ανισώσεων) του σαβακούπνοστ.

(Γενικότερα το ρόλο της εξίσωσης σε ένα σαβακούπνοστ μπορεί να έχει και ένα σύστημα εξισώσεων κτλ.)


Οπότε το πιο σωστό θα ήταν να γραφεί:

Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του z, για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα x,y το "σαβακούπνοστ"

\displaystyle{ \left [\begin{matrix} 
z-y = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\\  
z-y = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} 
\end{matrix}\right. }

Αυτό το "σαβακούπνοστ" είναι ισοδύναμο με την εξίσωση

\displaystyle (z-y)^2=-6x^2-14y^2-18xy+6

κτλ...

Αν υπάρχει η αντίστοιχη ορολογία στα ελληνικά, τότε η αρχική ανάρτηση διορθώνεται εύκολα :D .


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 860
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύνολο τιμών

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Μαρ 18, 2019 5:32 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 9:43 am

Καλημέρα σε όλους.

Παρατηρώ ότι στην επίσημη λύση που μάς παρουσιάζει ο Αλέξανδρος δεν γίνεται επαλήθευση.

Αναρωτιέμαι αν πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχουν x, y που να ανήκουν στο (κοινό) πεδίο ορισμού των συναρτήσεων για τα οποία να είναι z^2 \leq 18, εφόσον το z δεν είναι ανεξάρτητη παράμετρος, αλλά είναι συνάρτηση των x, y.

Θα ήθελα τη γνώμη σας.

Έχω στο νου μου την πρόσφατη συζήτηση ΕΔΩ.
Καλησπέρα κ.Γιώργο,

Νομίζω στην συγκεκριμένη περίπτωση δε χρειάζεται τέτοιος έλεγχος. Εδώ δεν είναι σε "πεπλεγμένη" μορφή η εξίσωση και η διακρίνουσα είναι ανεξάρτη της μεταβλητής ως προς την οποία την θεωρούμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες