Ζητώ το άθροισμα

#1

Την είδα κάπου, μου άρεσε και σκέφτηκα πόσο κρίμα είναι να μην εξετάζονται οι μαθητές μας στις Πανελλήνιες σε παρόμοια θέματα άλγεβρας. Για τη Γεωμετρία δεν το συζητώ. Το έχουμε όλοι μας πάρει απόφαση.

Αν a, b, c

είναι οι ρίζες της εξίσωσης x^3-x+1=0,

να βρείτε το άθροισμα a^8+b^8+c^8.

Λάμπρος Μπαλός · #2

george visvikis έγραψε:Την είδα κάπου, μου άρεσε και σκέφτηκα πόσο κρίμα είναι να μην εξετάζονται οι μαθητές μας στις Πανελλήνιες σε παρόμοια θέματα άλγεβρας. Για τη Γεωμετρία δεν το συζητώ. Το έχουμε όλοι μας πάρει απόφαση.

Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το άθροισμα

$a^{3}=a-1 \Rightarrow a^{4}=a^{2}-a \Rightarrow a^{8}=a^{4}+a^{2}-2a^{3} \Rightarrow a^{8}=2a^{2}-3a+2$
$b^{3}=b-1 \Rightarrow b^{4}=b^{2}-b \Rightarrow b^{8}=b^{4}+b^{2}-2b^{3} \Rightarrow b^{8}=2b^{2}-3b+2$
$c^{3}=c-1 \Rightarrow c^{4}=c^{2}-c \Rightarrow c^{8}=c^{4}+c^{2}-2c^{3} \Rightarrow c^{8}=2c^{2}-3c+2$

Αθροίζοντας, είναι :

$a^{8}+b^{8}+c^{8}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-3(a+b+c)+6 =$

$= 2[(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)]-3(a+b+c)+6=$

$=2(0^{2}-2(-1))-3 \cdot 0+6=10$

nikkru · #3

george visvikis έγραψε:Την είδα κάπου, μου άρεσε και σκέφτηκα πόσο κρίμα είναι να μην εξετάζονται οι μαθητές μας στις Πανελλήνιες σε παρόμοια θέματα άλγεβρας. Για τη Γεωμετρία δεν το συζητώ. Το έχουμε όλοι μας πάρει απόφαση.

Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το άθροισμα

Πράγματι, ωραία άσκηση και λύνεται με γνώσεις Α΄Λυκείου (με τύπους Vιeta και για εξισώσεις 3ου βαθμού).

Για κάθε ρίζα

της εξίσωσης x^3-x+1=0,

ισχύει:

,
οπότε

και

.

Έτσι, a^8+b^8+c^8=2a^2-3a+2+2b^2-3b+2+2c^2-3c+2=

Από τους τύπους Vieta είναι: a+b+c=0,ab+bc+ca=-1,abc=-1

και έτσι:
$a^8+b^8+c^8=2[0^2-2(-1)]-3\cdot 0+6=10$ .

Βλέπω με πρόλαβε ο Λάμπρος, την αναρτώ για τον κόπο.

Ζητώ το άθροισμα

Ζητώ το άθροισμα

Re: Ζητώ το άθροισμα

Re: Ζητώ το άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση