Τιμή παράστασης

#1

Αν $\displaystyle{P(x) = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x + 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)}$

να βρεθούν οι α) P(5)

................. β) P(6)

nikkru · #2

george visvikis έγραψε:Αν $\displaystyle{P(x) = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x + 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)}$

να βρεθούν οι α) ................. β)

Οι γωνίες $\displaystyle \frac{\pi }{{4x}}$ και $\displaystyle \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}}$ είναι παραπληρωματικές , οπότε: $\displaystyle \cos \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}}}=-\cos \frac{\pi }{{4x}}}$ . Ομοίως: $\displaystyle \cos \frac{{(2x + 1)\pi }}{{4x}}}=-\cos \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}}$ ,

Συνέπεια αυτών είναι: $\displaystyle P(x)= \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{{4x}}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)=\left( \sin \frac{\pi }{{4x}}\sin \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}} \right)^2$

Οι γωνίες $\displaystyle \frac{\pi }{{4x}} , \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}$ είναι συμπληρωματικές, έτσι:

$\displaystyle \sin \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}= \cos \frac{\pi }{{4x}}$ και $\displaystyle P(x)=\left( \sin \frac{\pi }{{4x}} \cos \frac{\pi }{{4x}} \right)^2=\frac{1}{4}\left( \sin \frac{\pi }{{2x}} \right)^2$ .

Από τα παραπάνω έχουμε ότι:

α) $\displaystyle P(5)=\frac{1}{4}\left( \sin \frac{\pi }{{10}} \right)^2= \boxed{ \frac{3- \sqrt{5}}{32}}$ , ( αφού $sin18^o= \frac{ \sqrt{5}-1}{4}$ ) και

β) $\displaystyle P(6)=\frac{1}{4}\left( \sin \frac{\pi }{{12}} \right)^2=\frac{\sin^2(45^o-30^o)}{4}= \boxed{ \frac{2-\sqrt{3}}{16}}$ .

Τιμή παράστασης

Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση