Ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12736
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 29, 2016 1:32 pm

Αποδείξτε , ότι από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν ,

το ορθογώνιο και ισοσκελές είναι αυτό με την μικρότερη περίμετρο .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4916
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 29, 2016 1:42 pm

Θανάση καλημέρα.

Χρονικοί περιορισμοί τίθενται; Τι εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν;


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Νοέμ 29, 2016 2:46 pm

Έστω a, b οι δύο κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και c η υποτείνουσα του.

Ισχύει από την AM-GM ότι:

(a+b)^2\geq 4ab\Rightarrow \dfrac{(a+b)^2}{8}\geq \dfrac{ab}{2} με ισότητα όταν a=b.

Αφού το εμβαδόν θα είναι σταθερό, δηλαδή το \dfrac{ab}{2} είναι σταθερό, το ελάχιστο a+b ισχύει όταν a=b.

Ακόμα πάλι από AM-GM προκύπτει ότι:

c^2=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow \dfrac{c^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{4}\geq \dfrac{ab}{2} με ισότητα όταν a=b.

Άρα το c ελαχιστοποιείται όταν a=b και συνεπώς το a+b+c ελαχιστοποιείται όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4916
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 29, 2016 11:47 pm

Καλησπέρα σε όλους. Η χρονική απαγόρευση ελπίζω να έχει αρθεί.


1η ΛΥΣΗ:

Γνωρίζουμε ότι απ’ όλα τα ορθογώνια με ίδιο εμβαδό, μικρότερη περίμετρο έχει το τετράγωνο. Επίσης, γνωρίζουμε ότι απ’ όλα τα ορθογώνια με ίδιο εμβαδό, μικρότερη διαγώνιο έχει το τετράγωνο.

Οπότε από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με ίδιο εμβαδό, μικρότερο άθροισμα καθέτων πλευρών έχει το ισοσκελές και ομοίως απ' όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με ίδιο εμβαδό, μικρότερη υποτείνουσα έχει το ισοσκελές, ο.ε.δ.


2η ΛΥΣΗ:

Είναι \displaystyle {\left( {b + c} \right)^2} = {\left( {b - c} \right)^2} + 4bc = {\left( {b - c} \right)^2} + 8E \Rightarrow {\left( {b + c} \right)^2} \ge 8E , με το ίσον να ισχύει όταν b=c.

Οπότε το b+c παίρνει ελάχιστη τιμή όταν b = c.

Επίσης \displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2} \ge 2bc = 4E , με το ίσον να ισχύει όταν b=c.

Οπότε και το a παίρνει ελάχιστη τιμή όταν b = c.

Άρα και η περίμετρός του (a+b+c παίρνει ελάχιστη τιμή όταν b = c.

(Μεταμφιεσμένη η ανισότητα Cauchy είναι, όπως τη χρησιμοποίησε ο Διονύσιος παραπάνω. Στην ουσία δίνω την τετριμμένη απόδειξη για δύο όρους)

3η ΛΥΣΗ:
29-11-2016 Γεωμετρία.png
29-11-2016 Γεωμετρία.png (25.5 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές
Έστωx, y, οι κάθετες πλευρές του τριγώνου με x, y > 0, xy=2E όπου E το εμβαδό του τριγώνου.

Τότε \displaystyle y = \frac{{2E}}{x} . Το σημείο M(x, y) κινείται στο θετικό κλάδο υπερβολής C με αυτήν την εξίσωση.

Εντοπίζουμε το πλησιέστερο σημείο της καμπύλης C στην αρχή των αξόνων, στην τομή της με την ευθεία y = x. (Απλή η απόδειξη).

Επίσης η συνάρτηση \displaystyle P\left( x \right) = x + \frac{{2E}}{x},\;x > 0 έχει παράγωγο \displaystyle P'\left( x \right) = 1 - \frac{{2E}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 2E}}{{{x^2}}} και παρουσιάζει ελάχιστο για \displaystyle x = \sqrt {2E} , οπότε και \displaystyle y = \sqrt {2E} .

Άρα και η περίμετρός του τριγώνου παίρνει ελάχιστη τιμή όταν x = y.

Δίνω και δύο προεκτάσεις. Μία άμεση, απλή και μια καλή (την πηγή της δεύτερης αργότερα).


Αποδείξτε , ότι από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν, το ορθογώνιο και ισοσκελές είναι αυτό με τον μεγαλύτερο εγγεγραμμένο κύκλο.



Αποδείξτε , ότι από όλα τα τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν και μία σταθερή γωνία , το ισοσκελές είναι αυτό με την μικρότερη περίμετρο, με σταθερή τη γωνία που
περιέχεται στις ίσες πλευρές.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Νοέμ 30, 2016 11:49 am

Για την πρωτη.

s_1r_1=s_2r_2 οπου s η ημιπερίμετρος και r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (του τυχαίου και του ορθ. ισοσκελους τριγώνου αντιστοίχως).

Σύμφωνα με την αρχική s_1>s_2 αρα r_1<r_2 και τελειώσαμε


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Δεκ 06, 2016 3:01 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Αποδείξτε , ότι από όλα τα τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν και μία σταθερή γωνία , το ισοσκελές είναι αυτό με την μικρότερη περίμετρο, με σταθερή τη γωνία που
περιέχεται στις ίσες πλευρές.
Έστω x, y οι προσκείμενες στην σταθερή γωνία \theta πλευρές και z η άλλη πλευρά. Επειδή το εμβαδόν κάθε τέτοιου τριγώνου είναι σταθερό, τα γινόμενα των πλευρών που η εμπεριεχόμενη γωνία είναι σταθερή είναι ίσα. Συνεπώς xy σταθερό.

Ψάχνουμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης P=x+y+z=x+y+\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}

Όμως και η γωνία \theta και το xy είναι σταθερό, άρα το 2xycos\theta είναι σταθερό. Άρα ψάχνουμε την ελάχιστη τιμή του x+y και του x^2+y^2.

Όμως x+y \geq 2\sqrt{xy} και το 2\sqrt{xy} είναι σταθερό, άρα το x+y ελαχιστοποιείται όταν x=y. Όμοια x^2+y^2 \geq 2xy και επειδή το 2xy είναι σταθερό, το x^2+y^2 ελαχιστοποιείται πάλι όταν x=y.

Άρα πράγματι το P ελαχιστοποιείται όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με x=y.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης