Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#121

Άσκηση 36

Για κάθε

, για το οποίο η εξίσωση $\displaystyle x^3-x^2-4x-a=0$ έχει τρεις διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες, συμβολίζουμε με $\displaystyle x_{1}=x_{1} \left ( a \right ), \quad x_{2}=x_{2}\left ( a \right ), \quad x_{3}=x_{3}\left ( a \right )$ αυτές τις ρίζες διατεταγμένες κατά φθίνουσα σειρά $(x_{1} > x_{2} > x_{3})$ . Προσδιορίστε, για ποιό από αυτά τα

η έκφραση $\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}$ λαμβάνει την μέγιστη δυνατή τιμή της.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 56#p307656

#122

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pm
Άσκηση 33:

Αν $\displaystyle{a,\,b,\,c,\,d,\,e,\, f,\, g,\, h}$ είναι αναδιάταξη των $1,\,2,\,3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7,\, 8,$ ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο ;

Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.

Επαναφορά.

Την είχα ξεχάσει και εγώ αλλά την είδα τυχαία όταν πριν από λίγο ήθελα να αναρτήσω μία νέα άσκηση στο θρεντ.

Η νέα άσκηση μπορεί να περιμένει αλλά ας δούμε πρώτα λύσεις των ξεχασμένων. Ακολουθεί λύση της ξεχασμένης

.

#123

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 2:06 am
ΑΣΚΗΣΗ 35

Έστω πολυώνυμο το οποίο έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι

1) δύο εκ των ριζών είναι θετικές και η τρίτη αρνητική και

2) η μικρότερη εκ των δύο θετικών ριζών είναι ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle\frac{b}{a},\frac{3b}{2a}.$

Πρώτα απ' όλα το

δεν είναι ρίζα αφού $b\ne 0$ .

Αφού το γινόμενο των ριζών είναι -b<0

, σημαίνει ότι είτε έχουμε τρεις (γνήσια) αρνητικές ρίζες ή δύο θετικές και μία αρνητική. Αφού το άθροισμα των ριζών είναι

, η πρώτη εκδοχή αποκλείεται. Αυτό απαντά στο ερώτημα 1). Επίσης,

έστω $p\le q$ οι δύο θετικές ρίζες, οπότε η αρνητική είναι η -p-q

. Άρα από Vieta είναι -a=pq -p(p+q)-q(p+q)

και

οπότε

και

.

Είναι τώρα $\dfrac {b}{a} = \dfrac{pq(p+q)}{p^2+pq+q^2}< \dfrac{pq(p+q)}{pq+q^2}=p$ , δηλαδή το ένα ζητούμενο. Και

$\dfrac {3b}{2a} = \dfrac{3pq(p+q)}{2p^2+2pq+2q^2}= \dfrac{3pq(p+q)}{(p^2+p^2)+2pq+2q^2 } > \dfrac{3pq(p+q)}{(pq+q^2)+2pq+2q^2 }=\dfrac{3pq(p+q)}{3pq+3q^2 }=p$ , όπως θέλαμε.

Σχόλιο: Άλλη λύση του $\displaystyle\dfrac{b}{a}< p$ : Η αρχική δίνει για οποιαδήποτε από τις θετικές ρίζες ax-b=x^3>0

, άρα $x> \dfrac{b}{a}$

KARKAR · #124

Άσκηση 37

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του

, για την οποία για κάθε k>m

το πολυώνυμο

x^3+x^2+kx+3

, έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα .

#125

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 9:05 am
Άσκηση 37

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του , για την οποία για κάθε το πολυώνυμο

, έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα .

Απάντηση:

. Πρόκειται για άσκηση χωρίς φαντασία, στάνταρ στη θεωρία τριτοβάθμιων, με πολλές πράξεις.

Η τριτοβάθμια έχει μία ρίζα ακριβώς όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική. Βολεύει γιατί οι πράξεις είναι πολλές να φέρουμε την τριτοβάθμια στην μορφή x^3+px+q=0

, οπότε η διακρίνουσα είναι -4p^3-27q^2

. Εδώ ο μετασχηματισμός $x\to x-1/3$ φέρνει την αρχική στην μορφή

$\displaystyle{x^3+\left (k-\dfrac {1}{3}\right )x+\dfrac {83-9k}{27}=0}$

H συνθήκη της διακρίνουσας απαιτεί $\displaystyle{ -4\left (k-\dfrac {1}{3}\right )^3-27\left ( \dfrac {83-9k}{27}\right )^2<0}$

ισοδύναμα

$\displaystyle{(k+5)(4k^2-21k+51)>0}$ (το έχω ελέγξει μία φορά αλλά δεν αντέχω δεύτερη). Επειδή ο δευτεροβάθμιος όρος στην παρένθεση είναι θετικός, θέλουμε k>-5

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι αντιμετώπισης.

KARKAR · #126

Μπορούμε να αποφύγουμε τις παραπάνω δυσκολίες , βρίσκοντας εκείνο το

, για το οποίο

το πολυώνυμο έχει μία απλή ρίζα ( έστω $\rho$ ) και μία διπλή ρίζα ( έστω

) .

Τότε από τους τύπους του Vieta , θα είναι : $\rho r^2=-3$ και $\rho+2r=-1$ .

Επίλυση του συστήματος δίνει : $\rho=-3 , r=1$

Συνεπώς : $m=\rho r+\rho r+r^2=-5$ . Άρα θέλουμε : k>-5

#127

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 11:31 am
Μπορούμε να αποφύγουμε τις παραπάνω δυσκολίες , βρίσκοντας εκείνο το , για το οποίο

το πολυώνυμο έχει μία απλή ρίζα ( έστω $\rho$ ) και μία διπλή ρίζα ( έστω ) .

Τότε από τους τύπους του Vieta , θα είναι : $\rho r^2=-3$ και $\rho+2r=-1$ .

Επίλυση του συστήματος δίνει : $\rho=-3 , r=1$

Συνεπώς : $m=\rho r+\rho r+r^2=-5$ . Άρα θέλουμε :

Θανάση, το έχω υπόψη αλλά έχουμε διάφορα θέματα που θέλουν εξήγηση. Π.χ. από που βγήκε η σχέση $m=\rho r+\rho r+r^2=-5$ ; Οι τύποι Vieta εφαρμόζονται σε συντελεστές του τριωνύμου, και ο

δεν είναι συντελεστής. Επίσης πρέπει να εξηγηθεί πώς ακριβώς προκύπτει ότι k>-5

και όχι π.χ. k<-5

.

KARKAR · #128

Το

είναι συντελεστής στο πολυώνυμο : x^3+x^2+mx+3

, το οποίο έχει μια απλή

και μία διπλή ρίζα . Το

βρέθηκε κι αυτό από τους τύπους του Vieta ( αφού βρέθηκαν οι ρίζες ).

Αν k>m

δηλαδή :

, τότε η τιμή του πολυωνύμου , για κάθε x>0

μεταβάλλεται μόνο κατά το τμήμα

, το οποίο αυξάνει καθώς το

αυξάνει .

Η εξήγηση θα ήταν ίσως επαρκής , αν γνωρίζαμε ότι η διπλή ρίζα είναι θετική ...

#129

Νομίζω ότι η λύση έχει πολλά προβλήματα. Ένα είναι αυτό:

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 11:31 am
Μπορούμε να αποφύγουμε τις παραπάνω δυσκολίες , βρίσκοντας εκείνο το , για το οποίο

το πολυώνυμο έχει μία απλή ρίζα ( έστω $\rho$ ) και μία διπλή ρίζα ( έστω ) .

Η άρνηση της πρότασης "μοναδική ρίζα" που ζητά η άσκηση, δεν είναι το παραπάνω αλλά η πρόταση "έχει τρεις
ρίζες, μετρώντας και την πολλαπλότητα". Δηλαδή επιτρέπεται τριπλή ρίζα και (κυρίως) επιτρέπονται
τρεις διαφορετικές. Από που προκύπτει ότι το

που περιγράφεται παραπάνω είναι το ζητούμενο;

Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι εδώ:

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 1:11 pm
μεταβάλλεται μόνο κατά το τμήμα , το οποίο αυξάνει καθώς το αυξάνει .

Τι γίνεται με τα αρνητικά

; Εκεί το

μειώνεται. Υπόψη ότι η περίπτωση αυτή είναι υπαρκτή. Π.χ. για
k=-4

έχουμε ακριβώς μία πραγματική ρίζα, όπως μπορούμε να ελέγξουμε απευθείας (σχεδίασα άλλωστε το
γράφημα με λογισμικό).

Όλα αυτά διορθώνονται, αλλά τότε ξεφύγαμε από την απλότητα.

#130

Άσκηση 38

Έστω πραγματικοί αριθμοί με και έστω $\rho$ πραγματική ρίζα της εξίσωσης . Δείξτε ότι $\displaystyle{\rho \le \dfrac {c^2-4bd}{4ad} }$

Σχόλιο: Αναρτώ την άσκηση μόνο και μόνο για την τεχνική. Λύνεται σε μια-δυο γραμμές, αλλά μπορεί και να σε παιδέψει αν δεν το δεις σωστά.

#131

Άλυτες ακόμη οι 33, 36 και η 38 (που μόλις ανάρτησα).

#132

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 12:36 pm
Άσκηση 38

Έστω πραγματικοί αριθμοί με και έστω $\rho$ πραγματική ρίζα της εξίσωσης . Δείξτε ότι $\displaystyle{\rho \le \dfrac {c^2-4bd}{4ad} }$

Σχόλιο: Αναρτώ την άσκηση μόνο και μόνο για την τεχνική. Λύνεται σε μια-δυο γραμμές, αλλά μπορεί και να σε παιδέψει αν δεν το δεις σωστά.

Καλό!

Ισχύει $\displaystyle{ar^3+br^2+cr+d=0,}$ άρα η εξίσωση $\displaystyle{(ar+b)x^2+cx+d=0}$ έχει πραγματική ρίζα (την $\displaystyle{r}$ ), άρα μη αρνητική διακρίνουσα.

Άρα $\displaystyle{c^2-4d(ar+d)\geq 0\implies r\leq \dfrac {c^2-4bd}{4ad},}$ αφού $\displaystyle{ad>0.}$

Πρέπει να εξετάσουμε τι γίνεται αν $\displaystyle{r=-\frac{b}{a}}$ , τότε όμως έχουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{-\frac{b}{a}\leq \dfrac {c^2-4bd}{4ad}\iff c^2\geq 0.}$

#133

matha έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 1:04 pm

Ισχύει $\displaystyle{ar^3+br^2+cr+d=0,}$ άρα η εξίσωση $\displaystyle{(ar+b)x^2+cx+d=0}$ έχει πραγματική ρίζα (την $\displaystyle{r}$ )

Ακριβώς αυτό είχα κατά νου.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #134

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pm
Άσκηση 33:

Αν $\displaystyle{a,\,b,\,c,\,d,\,e,\, f,\, g,\, h}$ είναι αναδιάταξη των $1,\,2,\,3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7,\, 8,$ ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο ;

Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.

Το πολυώνυμο γράφεται $\rm x^3((e+f+g+h)-(a+b+c+d))+x^2((ab+bc+cd+bd+ad+ac)-(ef+eg+eh+fg+..+fh+gh))+x((efg+egh+egh+fgh)-(abc+abd+acd+bcd))+abcd-efgh$ .

Για να μηδενιστεί το $\rm x^3$ πρέπει $\rm a+b+c+d=e+f+g+h=\dfrac{a+b+c+d+e+f+g+h}{2}=\dfrac{8\cdot9}{4}=18\,\,\,(*)$ .
Παραδείγματα τέτοιων τετράδων υπάρχουν ,οπότε πάμε να βάλουμε και την συνθήκη $\rm ab+bc+cd+bd+ad+ac=ef+eg+eh+fg+fh+gh\,\,\,(**)$ .
Οι (*),(**)

δίνουν $\rm a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2}{2}=\dfrac{8\cdot(8+1)\cdot(2\cdot 8+1)}{24}$ .
Έστω ότι ο όρος

περιλαμβάνεται στην $\rm (a,b,c,d)$ χωρίς βλάβη θέτω $\rm a=8$ .
Θα είναι $\left\{\begin{matrix} & \rm b+c+d=10 & \\ &\rm b^2+c^2+d^2=38 & \end{matrix}\right.$ .Έστω $\rm b>c>d$ .
Επειδή $\rm c^2+d^2 \geq 4+1=5>2=38-36$ θα είναι $\rm b\leq 5$ .
Αν $\rm b<5$ τότε $\rm (b+c+d)_{max}=4+3+2<10$ άτοπο.Άρα $\rm b=5$ και $\rm d+c=5,c^2+d^2=13$ που εύκολα δίνει $\rm c=3,b=2$ .
Άρα $\rm (a,b,c,d)=(8,5,3,2)$ και $\rm (e,f,g,h)=(7,6,4,1)$ (ή κάποια αναδιάταξη,δεν έχει σημασία λόγω συμμετρίας).
Τότε όμως $\rm abc+abd+acd+bcd\neq efg+efh+egh+fgh$ άρα ο ελάχιστος βαθμός του πολυωνύμου είναι ο

.

#135

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 1:58 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pm
...
Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.
...
Άρα $\rm (a,b,c,d)=(8,5,3,2)$ και $\rm (e,f,g,h)=(7,6,4,1)$ (ή κάποια αναδιάταξη,δεν έχει σημασία λόγω συμμετρίας).

Το τότε πρόσφατο ποστ που εννοούσα είναι εδώ όπου το βασικό βήμα είναι οι ισότητες 8^n+5^n+3^n+2^n=7^n+6^n+4^n+1^n

για $n=1,\,2$ .

#136

Άσκηση 39

Έστω $P,\,Q$ δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό ισχύει $P(\cos x)=Q(\cos 2x)$ .

Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει και $Q(x) = R\left (\dfrac {x+1}{2}\right )$ .

#137

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 5:45 pm
Άσκηση 39

Έστω $P,\,Q$ δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό ισχύει $P(\cos x)=Q(\cos 2x)$ .

Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει και $Q(x) = R\left (\dfrac {x+1}{2}\right )$ .

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#138

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 5:45 pm
Άσκηση 39

Έστω $P,\,Q$ δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό ισχύει $P(\cos x)=Q(\cos 2x)$ .

Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει και $Q(x) = R\left (\dfrac {x+1}{2}\right )$ .

Να τελειώνει και αυτή.

Όπως λέει ο Μιχάλης προηγουμένως, για $\displaystyle{x\to x+\pi}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{P(-\cos x)=Q(\cos 2x)=P(\cos x)}$ δηλαδή ισχύει $\displaystyle{P(x)=P(-x)}$ για άπειρες τιμές του $\displaystyle{x}$ , άρα για κάθε $\displaystyle{x.}$ Δηλαδή το $\displaystyle{P}$ είναι άρτιο πολυώνυμο, οπότε υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{R(x)}$ , ώστε $\displaystyle{P(x)=R(x^2)}$ . Τότε η συνθήκη γίνεται

$\displaystyle{Q(\cos 2x)=R(\cos ^2x)=R\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}$ , οπότε ισχύει

$\displaystyle{Q(x)=R\left(\frac{1+x}{2}\right)}$ για άπειρες τιμές του $\displaystyle{x}$ , άρα για κάθε $\displaystyle{x}$ .

#139

Άσκηση 40

Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές συντελεστές τέτοιο ώστε $\displaystyle{P(2)+P(8)<100<P(3)+P(7)}$ . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και

Η σωστή λύση είναι δυο-τρεις γραμμές.

#140

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 12:27 am
Άσκηση 40

Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές συντελεστές τέτοιο ώστε $\displaystyle{P(2)+P(8)<100<P(3)+P(7)}$ . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και

Η σωστή λύση είναι δυο-τρεις γραμμές.

Μπολζάνο στην $\displaystyle{P(x)+P(10-x)-100=0}$

Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση