Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 36
Για κάθε , για το οποίο η εξίσωση έχει τρεις διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες, συμβολίζουμε με αυτές τις ρίζες διατεταγμένες κατά φθίνουσα σειρά . Προσδιορίστε, για ποιό από αυτά τα η έκφραση λαμβάνει την μέγιστη δυνατή τιμή της.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 56#p307656
Για κάθε , για το οποίο η εξίσωση έχει τρεις διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες, συμβολίζουμε με αυτές τις ρίζες διατεταγμένες κατά φθίνουσα σειρά . Προσδιορίστε, για ποιό από αυτά τα η έκφραση λαμβάνει την μέγιστη δυνατή τιμή της.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 56#p307656
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Επαναφορά.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pmΆσκηση 33:
Αν είναι αναδιάταξη των ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο ;
Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.
Την είχα ξεχάσει και εγώ αλλά την είδα τυχαία όταν πριν από λίγο ήθελα να αναρτήσω μία νέα άσκηση στο θρεντ.
Η νέα άσκηση μπορεί να περιμένει αλλά ας δούμε πρώτα λύσεις των ξεχασμένων. Ακολουθεί λύση της ξεχασμένης .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Πρώτα απ' όλα το δεν είναι ρίζα αφού .Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Δευ Ιαν 07, 2019 2:06 amΑΣΚΗΣΗ 35
Έστω πολυώνυμο το οποίο έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι
1) δύο εκ των ριζών είναι θετικές και η τρίτη αρνητική και
2) η μικρότερη εκ των δύο θετικών ριζών είναι ανάμεσα στους αριθμούς
Αφού το γινόμενο των ριζών είναι , σημαίνει ότι είτε έχουμε τρεις (γνήσια) αρνητικές ρίζες ή δύο θετικές και μία αρνητική. Αφού το άθροισμα των ριζών είναι , η πρώτη εκδοχή αποκλείεται. Αυτό απαντά στο ερώτημα 1). Επίσης,
έστω οι δύο θετικές ρίζες, οπότε η αρνητική είναι η . Άρα από Vieta είναι και οπότε
και .
Είναι τώρα , δηλαδή το ένα ζητούμενο. Και
, όπως θέλαμε.
Σχόλιο: Άλλη λύση του : Η αρχική δίνει για οποιαδήποτε από τις θετικές ρίζες , άρα
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 37
Βρείτε την ελάχιστη τιμή του , για την οποία για κάθε το πολυώνυμο
, έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή του , για την οποία για κάθε το πολυώνυμο
, έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απάντηση: . Πρόκειται για άσκηση χωρίς φαντασία, στάνταρ στη θεωρία τριτοβάθμιων, με πολλές πράξεις.
Η τριτοβάθμια έχει μία ρίζα ακριβώς όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική. Βολεύει γιατί οι πράξεις είναι πολλές να φέρουμε την τριτοβάθμια στην μορφή , οπότε η διακρίνουσα είναι . Εδώ ο μετασχηματισμός φέρνει την αρχική στην μορφή
H συνθήκη της διακρίνουσας απαιτεί
ισοδύναμα
(το έχω ελέγξει μία φορά αλλά δεν αντέχω δεύτερη). Επειδή ο δευτεροβάθμιος όρος στην παρένθεση είναι θετικός, θέλουμε
Υπάρχουν και άλλοι τρόποι αντιμετώπισης.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μπορούμε να αποφύγουμε τις παραπάνω δυσκολίες , βρίσκοντας εκείνο το , για το οποίο
το πολυώνυμο έχει μία απλή ρίζα ( έστω ) και μία διπλή ρίζα ( έστω ) .
Τότε από τους τύπους του Vieta , θα είναι : και .
Επίλυση του συστήματος δίνει :
Συνεπώς : . Άρα θέλουμε :
το πολυώνυμο έχει μία απλή ρίζα ( έστω ) και μία διπλή ρίζα ( έστω ) .
Τότε από τους τύπους του Vieta , θα είναι : και .
Επίλυση του συστήματος δίνει :
Συνεπώς : . Άρα θέλουμε :
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Θανάση, το έχω υπόψη αλλά έχουμε διάφορα θέματα που θέλουν εξήγηση. Π.χ. από που βγήκε η σχέση ; Οι τύποι Vieta εφαρμόζονται σε συντελεστές του τριωνύμου, και ο δεν είναι συντελεστής. Επίσης πρέπει να εξηγηθεί πώς ακριβώς προκύπτει ότι και όχι π.χ. .KARKAR έγραψε: ↑Πέμ Απρ 02, 2020 11:31 amΜπορούμε να αποφύγουμε τις παραπάνω δυσκολίες , βρίσκοντας εκείνο το , για το οποίο
το πολυώνυμο έχει μία απλή ρίζα ( έστω ) και μία διπλή ρίζα ( έστω ) .
Τότε από τους τύπους του Vieta , θα είναι : και .
Επίλυση του συστήματος δίνει :
Συνεπώς : . Άρα θέλουμε :
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Το είναι συντελεστής στο πολυώνυμο : , το οποίο έχει μια απλή
και μία διπλή ρίζα . Το βρέθηκε κι αυτό από τους τύπους του Vieta ( αφού βρέθηκαν οι ρίζες ).
Αν δηλαδή : , τότε η τιμή του πολυωνύμου , για κάθε
μεταβάλλεται μόνο κατά το τμήμα , το οποίο αυξάνει καθώς το αυξάνει .
Η εξήγηση θα ήταν ίσως επαρκής , αν γνωρίζαμε ότι η διπλή ρίζα είναι θετική ...
και μία διπλή ρίζα . Το βρέθηκε κι αυτό από τους τύπους του Vieta ( αφού βρέθηκαν οι ρίζες ).
Αν δηλαδή : , τότε η τιμή του πολυωνύμου , για κάθε
μεταβάλλεται μόνο κατά το τμήμα , το οποίο αυξάνει καθώς το αυξάνει .
Η εξήγηση θα ήταν ίσως επαρκής , αν γνωρίζαμε ότι η διπλή ρίζα είναι θετική ...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Νομίζω ότι η λύση έχει πολλά προβλήματα. Ένα είναι αυτό:
ρίζες, μετρώντας και την πολλαπλότητα". Δηλαδή επιτρέπεται τριπλή ρίζα και (κυρίως) επιτρέπονται
τρεις διαφορετικές. Από που προκύπτει ότι το που περιγράφεται παραπάνω είναι το ζητούμενο;
Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι εδώ:
έχουμε ακριβώς μία πραγματική ρίζα, όπως μπορούμε να ελέγξουμε απευθείας (σχεδίασα άλλωστε το
γράφημα με λογισμικό).
Όλα αυτά διορθώνονται, αλλά τότε ξεφύγαμε από την απλότητα.
Η άρνηση της πρότασης "μοναδική ρίζα" που ζητά η άσκηση, δεν είναι το παραπάνω αλλά η πρόταση "έχει τρεις
ρίζες, μετρώντας και την πολλαπλότητα". Δηλαδή επιτρέπεται τριπλή ρίζα και (κυρίως) επιτρέπονται
τρεις διαφορετικές. Από που προκύπτει ότι το που περιγράφεται παραπάνω είναι το ζητούμενο;
Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι εδώ:
Τι γίνεται με τα αρνητικά ; Εκεί το μειώνεται. Υπόψη ότι η περίπτωση αυτή είναι υπαρκτή. Π.χ. για
έχουμε ακριβώς μία πραγματική ρίζα, όπως μπορούμε να ελέγξουμε απευθείας (σχεδίασα άλλωστε το
γράφημα με λογισμικό).
Όλα αυτά διορθώνονται, αλλά τότε ξεφύγαμε από την απλότητα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 38
Έστω πραγματικοί αριθμοί με και έστω πραγματική ρίζα της εξίσωσης . Δείξτε ότι
Σχόλιο: Αναρτώ την άσκηση μόνο και μόνο για την τεχνική. Λύνεται σε μια-δυο γραμμές, αλλά μπορεί και να σε παιδέψει αν δεν το δεις σωστά.
Έστω πραγματικοί αριθμοί με και έστω πραγματική ρίζα της εξίσωσης . Δείξτε ότι
Σχόλιο: Αναρτώ την άσκηση μόνο και μόνο για την τεχνική. Λύνεται σε μια-δυο γραμμές, αλλά μπορεί και να σε παιδέψει αν δεν το δεις σωστά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Καλό!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 12:36 pmΆσκηση 38
Έστω πραγματικοί αριθμοί με και έστω πραγματική ρίζα της εξίσωσης . Δείξτε ότι
Σχόλιο: Αναρτώ την άσκηση μόνο και μόνο για την τεχνική. Λύνεται σε μια-δυο γραμμές, αλλά μπορεί και να σε παιδέψει αν δεν το δεις σωστά.
Ισχύει άρα η εξίσωση έχει πραγματική ρίζα (την ), άρα μη αρνητική διακρίνουσα.
Άρα αφού
Πρέπει να εξετάσουμε τι γίνεται αν , τότε όμως έχουμε να δείξουμε ότι
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Το πολυώνυμο γράφεται .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pmΆσκηση 33:
Αν είναι αναδιάταξη των ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο ;
Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.
Για να μηδενιστεί το πρέπει .
Παραδείγματα τέτοιων τετράδων υπάρχουν ,οπότε πάμε να βάλουμε και την συνθήκη .
Οι δίνουν .
Έστω ότι ο όρος περιλαμβάνεται στην χωρίς βλάβη θέτω .
Θα είναι .Έστω .
Επειδή θα είναι .
Αν τότε άτοπο.Άρα και που εύκολα δίνει .
Άρα και (ή κάποια αναδιάταξη,δεν έχει σημασία λόγω συμμετρίας).
Τότε όμως άρα ο ελάχιστος βαθμός του πολυωνύμου είναι ο .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Το τότε πρόσφατο ποστ που εννοούσα είναι εδώ όπου το βασικό βήμα είναι οι ισότητες για .ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 1:58 pm...Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pm...
Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.
Άρα και (ή κάποια αναδιάταξη,δεν έχει σημασία λόγω συμμετρίας).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 39
Έστω δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό ισχύει .
Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει και .
Έστω δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό ισχύει .
Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει και .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Υπόδειξη:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Απρ 04, 2020 5:45 pmΆσκηση 39
Έστω δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό ισχύει .
Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει και .
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Να τελειώνει και αυτή.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Απρ 04, 2020 5:45 pmΆσκηση 39
Έστω δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό ισχύει .
Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει και .
Όπως λέει ο Μιχάλης προηγουμένως, για λαμβάνουμε δηλαδή ισχύει για άπειρες τιμές του , άρα για κάθε Δηλαδή το είναι άρτιο πολυώνυμο, οπότε υπάρχει πολυώνυμο , ώστε . Τότε η συνθήκη γίνεται
, οπότε ισχύει
για άπειρες τιμές του , άρα για κάθε .
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 40
Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές συντελεστές τέτοιο ώστε . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και
Η σωστή λύση είναι δυο-τρεις γραμμές.
Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές συντελεστές τέτοιο ώστε . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και
Η σωστή λύση είναι δυο-τρεις γραμμές.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Απρ 14, 2020 12:27 amΆσκηση 40
Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές συντελεστές τέτοιο ώστε . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και
Η σωστή λύση είναι δυο-τρεις γραμμές.
Μπολζάνο στην
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης