Βρείτε τις συναρτήσεις

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x y) (x + f(y)) = x^2 f(y) + y^2 f(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Λάμπρος Μπαλός · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x y) (x + f(y)) = x^2 f(y) + y^2 f(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

$\Rightarrow f^{2}(0)=0 \Leftrightarrow f(0)=0$

Για y=1

$\Rightarrow f(x)(x+f(1))=x^{2}f(1)+f(x) \Leftrightarrow f(x)[x+f(1)-1]=x^{2}f(1)$ (1)

Για x=1

: $f^{2}(1)=f(1) \Rightarrow f(1)=0$ ή f(1)=1

Αν

, τότε $xf(x)=x^{2} \Leftrightarrow f(x)=x , \forall x \in R$ , αφού και f(0)=0

Αν

, τότε $f(x)(x-1)=0 \Leftrightarrow f(x)=0 , \forall x \in R$ , αφού και f(1)=0

.

Επαληθεύουν και οι δύο.

#3

#4

Παραλλαγή:
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x y) (x + f(y)) = x^2 f(y) + y^2 f(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 11:08 pm
Παραλλαγή:
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x y) (x + f(y)) = x^2 f(y) + y^2 f(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Αρχικά αφού η

ορίζεται στους θετικούς η σχέση ισχύει για κάθε $x,y \in \mathbb{R_+}$ και όχι για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$
Έστω P(x,y)

δοσμένη.
Έστω ότι υπάρχει $c\in \mathbb{R_+}$ με f(c)=0

Τότε $P(1,c): c^2f(1)=0\Leftrightarrow f(1)=0$
$P(x,1): f(x)\cdot x=f(x)\Leftrightarrow x=1\,\,or\,\,\,f(x)=0$ αλλά και για x=1

είναι

οπότε $\boxed {f(x)=0, \forall x\in \mathbb{R_+}}$
Αν δεν υπάρχει τέτοιο

:
Οι σχέσεις P(x,y),P(y,x)

δίνουν

δηλαδή

για κάθε $x \in \mathbb{R_+}$ και

μία πραγματική σταθερά.
Αντικαθιστώ στην αρχική και προκύπτει k=0

οπότε $\boxed {f(x)=x, \forall x\in \mathbb{R_+}}$

Οι δύο τύποι σε πλαίσιο είναι οι λύσεις.

Βρείτε τις συναρτήσεις

Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση