Καλά ψηφία

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Καλά ψηφία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Σεπ 21, 2022 1:03 am

Αρκετοί διαφορετικοί διψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι γραμμένοι στον πίνακα. Λέμε ότι ο αριθμός c είναι καλός αν το άθροισμα των αριθμών από τον πίνακα που περιέχουν το ψηφίο c είναι 71.
α) Ποια από τα ψηφία 0 έως 9 μπορεί να είναι καλά;
β) Πόσα ψηφία το πολύ μπορούν να είναι καλά ταυτόχρονα;


Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
ψηφίο
Κορυφή
vgreco
Δημοσιεύσεις: 68
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 19, 2022 6:22 pm

Re: Καλά ψηφία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vgreco » Κυρ Νοέμ 27, 2022 5:30 pm

socrates έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 21, 2022 1:03 am
 Αρκετοί διαφορετικοί διψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι γραμμένοι στον πίνακα. Λέμε ότι ο αριθμός c είναι καλός αν το άθροισμα των αριθμών από τον πίνακα που περιέχουν το ψηφίο c είναι 71.
α) Ποια από τα ψηφία 0 έως 9 μπορεί να είναι καλά;
β) Πόσα ψηφία το πολύ μπορούν να είναι καλά ταυτόχρονα;
α) Καλά μπορούν να είναι μόνο τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 7.
  • 0: Οι διψήφιοι που περιέχουν το 0 τελειώνουν σε 0 και είναι όλοι άρτιοι. Άρα το 0 δεν μπορεί να είναι καλό.
  • 1: Μπορεί να είναι καλό, αν π.χ. στον πίνακα είναι γραμμένος ο 71.
  • 2: Μπορεί να είναι καλό, αν π.χ. στον πίνακα είναι γραμμένοι οι 42, 29.
  • 3: Μπορεί να είναι καλό, αν π.χ. στον πίνακα είναι γραμμένοι οι 33, 38.
  • 4: Μπορεί να είναι καλό, αν στον πίνακα είναι γραμμένοι οι 47 και 24 και μόνο.
  • 5: Μπορεί να είναι καλό, αν στον πίνακα είναι γραμμένοι οι 56 και 15 και μόνο.
  • 6: Αν όλοι οι διψήφιοι του πίνακα που περιέχουν 6 τελειώνουν σε 6, τότε θα είναι άρτιοι, όπως και το άθροισμά τους.
    Αν ένας αρχίζει από 6, ούτε πάλι μπορούμε να σχηματίσουμε το 71. Άρα το 6 δεν μπορεί να είναι καλό.
  • 7: Μπορεί να είναι καλό, αν στον πίνακα είναι γραμμένος ο 71 και μόνο.
  • Τα ψηφία 8, 9 προφανώς δεν μπορούν να είναι καλά.
β) Αν τα ψηφία 4, 7 ήταν καλά ταυτόχρονα, στον πίνακα θα ήταν γραμμένοι οι αριθμοί 71, 47, άτοπο.
Άρα, τουλάχιστον 5 ψηφία μπορεί να είναι καλά ταυτόχρονα.

Αν είναι καλά το 4 και το 2 μαζί, στον πίνακα πρέπει να είναι γραμμένος ο 24.
Όμως 71 - 24 = 47 = 20 + 27 = 21 + 26 = 22 + 25. Το τελευταίο ζεύγος απορρίπτεται επειδή περιέχει 5.

Αν είναι καλά το 5 και το 1 μαζί, στον πίνακα πρέπει να είναι γραμμένος ο 15.
Σε συνδυασμό και με τα παραπάνω, βρίσκω 71 - 15 - 21 = 35 = 17 + 18 = 16 + 19. Και τα δύο ζεύγη γίνονται δεκτά.

Οι αριθμοί 33, 38 δεν περιέχουν κάποιο πιθανά καλό ψηφίο, άρα θα είναι επίσης γραμμένοι.

Έτσι, το πολύ 5 ψηφία μπορούν να είναι καλά ταυτόχρονα, αν π.χ. στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί:

15, 17, 18, 21, 24, 26, 33, 38, 47, 56.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες