Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

2nisic · #1

Να αποδειχθεί η ταυτότητα:

$\binom{500}{500}[\binom{499}{0}+\binom{499}{1}+...+\binom{499}{499}]+\binom{500}{499}[\binom{499}{0}+\binom{499}{2}+.....\binom{499}{498}]+.....+\binom{500}{1}[\binom{499}{0}]=2^{998}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

2nisic έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 1:20 pm
Να αποδειχθεί η ταυτότητα:

$\binom{500}{500}[\binom{0}{499}+\binom{1}{499}+...+\binom{499}{499}]+\binom{499}{500}[\binom{0}{499}+\binom{1}{499}+.....\binom{498}{499}]+.....+\binom{1}{500}[\binom{0}{499}]=2^{998}$

Δίνω μία λύση υποθέτοντας ότι όλοι οι διωνυμικοί συντελεστές έχουν μπει ανάποδα, αλλιώς δεν ορίζονται...
Τοποθετώ 999

μπάλες στην σειρά και τις αριθμώ,χρωματίζω την κάθε μία με μπλε ή κόκκινο( η ιδέα από το 4ο θέμα αρχιμήδη 2020)
Το πλήθος των δυνατών χρωματισμών είναι $2^{999}$ .
Ορίζω έναν χρωματισμό καλό αν στις μπάλες από 1-500

το πλήθος των μπλε μπαλών είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχα στις 501-999

και "κακό" αν δεν είναι "καλός"
Αν πάρω έναν καλό που στο κομμάτι 1-500

έχει

μπλε και στο άλλο

με

τότε είναι απλό ότι $500-k\leq 499-l$ δηλαδή αν αλλάξω όλα τα χρώματα παίρνω "κακό" χρωματισμό.
Όμοια αν έχω "κακό" και αλλάξω τα χρώματα παίρνω "καλό".
Έτσι το πλήθος των "καλών" χρωματισμών είναι $2^{998}$ ( αφού συνολικά μισοί καλοί-μικοί κακοί)
Μετράμε αλλιώς το πλήθος τους.
Αν στο 1-500

έχω

μπλε τότε παίρνω $\displaystyle \binom{500}{k}(\sum_{i=0}^{k-1} \binom{499}{i})$ καλούς χρωματισμούς.
Έτσι συνολικά έχω $\displaystyle \sum_{k=1}^{500} \binom{500}{k}(\sum_{i=0}^{k-1} \binom{499}{i})$ καλούς χρωματισμούς το οποίο είναι το αριστερό μέλος στην ζητούμενη σχέση, άρα τελειώσαμε.

2nisic · #3

Έφτιαξα αυτό το θέμα όταν είδα την λύση του προβλήματος

του Αρχιμήδη( από ότι φαίνεται δεν ειμουνα ο μόνος) . Γενικά μπορώ να αντικαταστήσω το 500

με

και το

με

και έχω αποτέλεσμα $\displaystyle{2^{2a-2}}$

Τσιαλας Νικολαος · #4

Για την ιστορία και μόνο αρκέτα παιδιά πέρσυ το έλυσαν έτσι με αυτό το ανάπτυγμα. Επειδή όμως δεν ήταν $2^{98}$ η επιτροπή ορθά έδωσε της 3,5 μονάδες από τις 5!

2nisic · #5

Πόσες μονάδες από τής πέντε ήταν το δεύτερο ερώτημα ;

Τσιαλας Νικολαος · #6

2nisic έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 6:44 pm
Πόσες μονάδες από τής πέντε ήταν το δεύτερο ερώτημα ;

4

Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Re: Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Re: Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Re: Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Re: Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Re: Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Μέλη σε σύνδεση