Συνδυαστική
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
Συνδυαστική
Να βρεθεί το πλήθος στοιχείων του πολυπληθέστερο σύνολο θετικών ακεραίων με της ακόλουθες συνθήκες
οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούνται από τα ψηφία
Δεν εμφανίζεται ψηφίο περισσότερες από μία φορά στον ίδιο αριθμό
Τα ψηφία σε κάθε αριθμό είναι σε αύξουσα σειρά
οποιαδήποτε αριθμοί του συνόλου έχουν τουλάχιστον ένα κοινό ψηφίο
Δεν υπάρχει ψηφίο πού να ανήκει σε όλους τούς αριθμούς
οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούνται από τα ψηφία
Δεν εμφανίζεται ψηφίο περισσότερες από μία φορά στον ίδιο αριθμό
Τα ψηφία σε κάθε αριθμό είναι σε αύξουσα σειρά
οποιαδήποτε αριθμοί του συνόλου έχουν τουλάχιστον ένα κοινό ψηφίο
Δεν υπάρχει ψηφίο πού να ανήκει σε όλους τούς αριθμούς
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνδυαστική
Μπορούμε κάθε τέτοιο ακέραιο να τον αντιστοιχίσουμε με μοναδικό τρόπο σε ένα υποσύνολο του . Π.χ. αντιστοιχούμε τον στο υποσύνολο . Η αντιστοίχιση είναι μοναδική λόγω των (2) και (3).
Από το (4), για κάθε δύο υποσύνολα θέλουμε . Συνολικά έχουμε υποσύνολα τα οποία μπορούμε να χωρίσουμε σε ζεύγη υποσυνόλων της μορφής όπου το συμπλήρωμα του στο . Από κάθε ζεύγος μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ ένα υποσύνολο. Άρα έχουμε το πολύ υποσύνολα. Θα δείξουμε ότι μπορούμε να έχουμε τόσα ώστε να ικανοποιούνται επίσης οι (4) και (5).
Παίρνουμε όλα τα υποσύνολα μεγέθους καθώς επίσης και όλα τα υποσύνολα μεγέθους τα οποία περιέχουν το στοιχείο . Η (5) προφανώς ικανοποιείται από για κάθε στοιχείο επέλεξα και το υποσύνολο που δεν περιέχει το . Η (4) ικανοποιείται αφού για κάθε δυο υποσύνολα που επέλεξα, είτε θα έχω που δίνει απευθείας , είτε θα έχω οπότε και θα έχω . Τέλος επέλεξα συνολικά υποσύνολα όπως ήθελα.
Από το (4), για κάθε δύο υποσύνολα θέλουμε . Συνολικά έχουμε υποσύνολα τα οποία μπορούμε να χωρίσουμε σε ζεύγη υποσυνόλων της μορφής όπου το συμπλήρωμα του στο . Από κάθε ζεύγος μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ ένα υποσύνολο. Άρα έχουμε το πολύ υποσύνολα. Θα δείξουμε ότι μπορούμε να έχουμε τόσα ώστε να ικανοποιούνται επίσης οι (4) και (5).
Παίρνουμε όλα τα υποσύνολα μεγέθους καθώς επίσης και όλα τα υποσύνολα μεγέθους τα οποία περιέχουν το στοιχείο . Η (5) προφανώς ικανοποιείται από για κάθε στοιχείο επέλεξα και το υποσύνολο που δεν περιέχει το . Η (4) ικανοποιείται αφού για κάθε δυο υποσύνολα που επέλεξα, είτε θα έχω που δίνει απευθείας , είτε θα έχω οπότε και θα έχω . Τέλος επέλεξα συνολικά υποσύνολα όπως ήθελα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης