Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

gschwindi
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Τρί Μαρ 12, 2019 6:01 pm

Το θέμα είναι απο το βιβλίο του γερμανού μαθηματικού Engels, Problem-Solving strategies.

Για το τριώνυμο ax^{2} + bx + c μπορούμε να κάνουμε μία απο τις δύο παρακάτω κινήσεις τη φορά:

(Α) Να αλλάξουμε τις θέσεις των a, c. Π.χ. x^2 + 3x + 2 \rightarrow 2x^2 + 3x + 1.
(Β) Όπου x \rightarrow x+t για κάποιον t \in \mathbb{R}. Π.χ. x^2 + 3x + 2 \rightarrow (x+\sqrt{2})^2 + 3(x+\sqrt{2}) + 2 = x^2 + (2\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} + 4.

Είναι δυνατόν, εκτελώντας κάποιες απο τις παραπάνω κινήσεις, να φτάσουμε στο τριώνυμο x^2-x-1 απο το τριώνυμο x^2-x-2;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μαρ 12, 2019 7:01 pm

Καλησπέρα!

Έστω ένα τριώνυμο ax^2+bx+c και \Delta =b^2-4ac η διακρίνουσα του.
Παρατηρούμε ότι μετά από μία αλλαγή τύπου 1) η διακρίνουσα είναι \Delta =b^2-4ca άρα μένει η ίδια.
Έστω τώρα μία αλλαγή τύπου 2) και το τριώνυμο γίνεται
a\left ( x+t \right )^2+b(x+t)+c=a\left ( x^2+t^2+2xt \right )+b(x+t)+c=ax^2+x\left ( 2at+b \right )+\left ( at^2+bt+c \right )

Παρατηρούμε πως αυτό το τριώνυμο έχει διακρίνουσα \left ( 2at+b \right )^2-4a\left ( at^2+bt+c \right )=4a^2t^2+b^2+4atb-4a^2t^2-4atb-4ac=b^2-4ac
Άρα πάλι η διακρίνουσα μένει ίδια.

Άρα το τριώνυμο x^2-x-2 μετά από μετασχηματισμούς θα έχει πάντα διακρίνουσα 1-4(-2)=9

Όμως το x^2-x-1 έχει διακρίνουσα 1-4(-1)=5
Άρα αδύνατον.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 12, 2019 7:46 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 7:01 pm
Καλησπέρα!

Έστω ένα τριώνυμο ax^2+bx+c και \Delta =b^2-4ac η διακρίνουσα του.
Παρατηρούμε ότι μετά από μία αλλαγή τύπου 1) η διακρίνουσα είναι \Delta =b^2-4ca άρα μένει η ίδια.
Έστω τώρα μία αλλαγή τύπου 2) και το τριώνυμο γίνεται
a\left ( x+t \right )^2+b(x+t)+c=a\left ( x^2+t^2+2xt \right )+b(x+t)+c=ax^2+x\left ( 2at+b \right )+\left ( at^2+bt+c \right )

Παρατηρούμε πως αυτό το τριώνυμο έχει διακρίνουσα \left ( 2at+b \right )^2-4a\left ( at^2+bt+c \right )=4a^2t^2+b^2+4atb-4a^2t^2-4atb-4ac=b^2-4ac
Άρα πάλι η διακρίνουσα μένει ίδια.

Άρα το τριώνυμο x^2-x-2 μετά από μετασχηματισμούς θα έχει πάντα διακρίνουσα 1-4(-2)=9

Όμως το x^2-x-1 έχει διακρίνουσα 1-4(-1)=5
Άρα αδύνατον.
:coolspeak: :clap2:


gschwindi
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Τρί Μαρ 12, 2019 7:50 pm

Όμορφα.

Άλλη μία παρόμοια είναι η:

Έστω ότι αρχικά μας δίνεται το τριώνυμο ax^2 + bx + c.

Παρατηρούμε πως για τον μετασχηματισμό (Α) αν βάλω  x = 1 , η τιμή του τριωνύμου δεν αλλάζει και ισούται με a+b+c.
Παρατηρούμε όμως και στον μετασχηματισμό (Β) πως αν βάλω στο τριώνυμο μετα τον σχηματισμό τον αριθμό  x \rightarrow 1 - t παίρνουμε  a + b + c . Έπεται λοιπόν, ότι για κάθε μετασχηματισμό, υπάρχει πραγματικός αριθμός k για τον οποίο ισχύει ότι αν βάλω όπου x \rightarrow k παίρνω a+b+c.

Όμως για το x^2  - x  + 2, το αθροισμα συντελεστών είναι 2. Συνεπώς θα πρέπει και x^2-x-1=2, για κάποιο x \in \mathbb{R} , άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης