Πόσοι οκταψήφιοι;

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Πόσοι οκταψήφιοι;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 28, 2018 9:42 pm

Την βάζω εδώ αν και νομίζω δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη.

Να βρεθεί το πλήθος των οκταψήφιων θετικών ακεραίων οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του 9 και έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσοι οκταψήφιοι;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 28, 2018 10:58 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:42 pm
Την βάζω εδώ αν και νομίζω δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη.

Να βρεθεί το πλήθος των οκταψήφιων θετικών ακεραίων οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του 9 και έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά.
Η λύση βρίσκει τους εννιαψήφιους και όχι τους οκταψήφιους, όπως σωστά επισήμανε ο Δημήτρης (βλέπε επόμενο ποστ). Το αφήνω ως έχει αλλά παρακάτω βάζω σωστή λύση.


Ωραία ασκησούλα.

Πρέπει το άθροισμα των ψηφίων να είναι πολλαπλάσιο του 9. Επίσης αφού τα ψηφία είναι διαφορετικά, το άθροισμά τους είναι \ge 0+1+2+...+8=36 και \le 9+8+7+...+1=45. Οι 36 και 45 είναι πολλαπλάσια του 9 και μάλιστα διαδοχικά (δεν υπάρχει κανένα άλλο πολλαπλάσιο του 9 μεταξύ τους), οπότε το άθροισμα των ψηφίων είναι οι δυο τους, και κανένας άλλος. Είναι άμεσο ότι οι μόνη (οκτάδα/delete) εννιάδα διαφορετικών αριθμών με άθροισμα 36 είναι αυτή που περιγράψαμε, δηλαδή οι 0,1,..., 8 (όλες οι άλλες αντικαθιστούν κάποιο ψηφίο με το 9 και άρα το άθροισμα μεγαλώνει, δηλαδή παύει να είναι 36). Όμοια η μόνη (οκτάδα/delete) εννιάδα με άθροισμα 45 είναι η 1, 2, ..., 9.

Από την 1,2,...,9 κατασκευάζουμε 9! διαφορετικούς (οκταψήφιους/delete) εννιαψήφιους αριθμούς (άμεσο), και από την 0,1,...,8 φτιάχνουμε 8\times 8! (ας θυμηθούμε ότι το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι 0). Σύνολο 9!+8\times  8!=17\times 8!
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Νοέμ 28, 2018 11:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πόσοι οκταψήφιοι;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 28, 2018 11:07 pm

Μιχάλη, μιλάς για οκταψήφιους αλλά βρίσκεις τους εννιαψήφιους!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσοι οκταψήφιοι;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 28, 2018 11:17 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 28, 2018 11:07 pm
Μιχάλη, μιλάς για οκταψήφιους αλλά βρίσκεις τους εννιαψήφιους!
'Εχεις δίκιο :oops:

Διορθώνω αμέσως αλλά αφήνω και το προηγούμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσοι οκταψήφιοι;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 28, 2018 11:42 pm

Πρέπει το άθροισμα των ψηφίων να είναι πολλαπλάσιο του 9. Επίσης αφού τα ψηφία είναι διαφορετικά, το άθροισμά τους είναι \ge 0+1+2+...+7=28 και \le 9+8+7+...+2=44. Άρα είναι 36. Για να είναι το άθροισμα των οκτώ ψηφίων 36 ας αποφασίσουμε πρώτα ποιους δύο από τους 0 έως 9 πρέπει να σβήσουμε. Αφού 0+1+...+9=45 πρέπει να σβήσουμε δύο με άθροισμα 45-36=9. Τέτοια ζεύγη είναι ακριβώς τα \{0, 9\}, \, \{1, 8\}, \, \{2, 7\}, \, \{3, 6\}, \,\{4, 5\}.

Με τους \{0, 9\} σβησμένους, δηλαδή κρατώντας τους 1,\, 2,\, ... \, , 8, κατασκευάζουμε 8! οκταψήφιους.
Με τους \{1, 8\} σβησμένους, δηλαδή κρατώντας τους 0,\, 2,\, ... \, , \, 7, \, 9, κατασκευάζουμε 7\times 7! οκταψήφιους (ας θυμηθούμε ότι το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι 0). Έχουμε ακριβώς τόσους και σε κάθε μία από τις υπόλοιπες τρεις περιπτώσεις.

Τώρα προσθέτουμε τα πλήθη: 8!+ 4\times 7 \times 7!= 36\times 7!

Ελπίζω λόγω κούρασης να μην έχω κάνει κάποιο άλλο σφάλμα. Με παιδεύει και το ίντερνετ.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πόσοι οκταψήφιοι;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 28, 2018 11:58 pm

Σωστό είναι.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πόσοι οκταψήφιοι;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Νοέμ 29, 2018 12:04 am

Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:42 pm
Την βάζω εδώ αν και νομίζω δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη.

Να βρεθεί το πλήθος των οκταψήφιων θετικών ακεραίων οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του 9 και έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά.
Έστω A=\overline{\alpha \beta \gamma \delta \epsilon \zeta \eta \theta } ένας οκταψήφιος .Η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμά των ψηφίων του είναι 9+8+7+6+5+4+3+2=44 ενώ ελάχιστη 0+1+2+3+4+5+6+7=28. Επειδή όμως \alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon +\zeta +\eta +\theta =\pi o\lambda .9 πρέπει \alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon +\zeta +\eta +\theta =36
Επειδή ο  36 είναι άρτιος το πλήθος των περιττών ψηφίων του είναι άρτιο.Τα περιττά ψηφία του A είναι τα 1,3,5,7,9. Όμως αν το πλήθος τους είναι 0 ή  2 τότε δεν έχουμε αρκετά άρτια ψηφία (0,2,4,6,8) ώστε ο A να είναι οκταψήφιος.
  • Εάν από τους 1,3,5,7,9 δεν χρησιμοποιήσουμε το 9 τότε τα υπόλοιπα ψηφία πρέπει αναγκαστικά να είναι 1,2,3,4,5,6,7,8 διαφορετικά το άθροισμά τους θα είναι μικρότερο του 9 κι έτσι προκίπτουν 8!=40320 οκταψήφιοι.
  • Εαν χρισημοποιήσουμε το 9 και όχι το 7 τότε το άθροισμα των περιττών θα είναι 1+3+5+9=18 άρα των άρτιων να είναι 36-18=18.
    Από τους (0,2,4,6,8) πρέπει αναγκαστικά να χρησιμοποιήσουμε το 0 γιατί 2+4+6+8=20>18
    Χρησιμοποιώντας το 0 η μόνη δυνατή τετράδα είναι η 0,4,6,8.Έτσι έχουμε άλλους 7*7*6*5*4*3*2*1=35280 οκταψήφιους .
  • Εαν από τους 1,3,5,7,9 δεν χρησιμοποιήσουμε το 5 ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό με πριν βρίσκουμε 7*7*6*5*4*3*2*1=35280 οκταψήφιους
  • Εαν από τους 1,3,5,7,9 δεν χρησιμοποιήσουμε το 3 ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό με πριν βρίσκουμε 7*7*6*5*4*3*2*1=35280 οκταψήφιους
  • Εαν από τους 1,3,5,7,9 δεν χρησιμοποιήσουμε το 1 ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό με πριν βρίσκουμε 7*7*6*5*4*3*2*1=35280 οκταψήφιους
Έτσι έχουμε 40320+4*35280=181440 οκταψήφιους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες