Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει;

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Αύγ 19, 2018 4:42 pm

Ένα προπονητής θέλει να χωρίσει τους n παίχτες του σε δυάδες (n\geq 4 και 2/n) ώστε όλοι να είναι σε μία δυάδα. Οι δύο πιο γρήγοροι δεν θέλει να πάνε μαζί το ίδιο ισχύει και για τους δύο πιο αργούς. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει τις δυάδες;

στο edit διόρθωσα το ισχύω που το είχα ισχύ
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Κυρ Αύγ 19, 2018 4:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 19, 2018 4:51 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Αύγ 19, 2018 4:42 pm
Ένα προπονητής θέλει να χωρίσει τους n παίχτες του σε δυάδες (n\geq 4 και 2/n) ώστε όλοι να είναι σε μία δυάδα. Οι δύο πιο γρήγοροι δεν θέλει να πάνε μαζί το ίδιο ισχύ και για τους δύο πιο αργούς. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει τις δυάδες;
Το έχει ήδη επισημάνει ο κ. Λάμπρου ότι το ρήμα είναι ισχύω. Άρα το σωστό είναι ισχύει. Σε παρακαλώ να διαβάζεις αυτά που σου γράφουν. Είναι για το καλό σου.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7887
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Αύγ 19, 2018 5:55 pm

Θα γράψω n=2m.

Ας δούμε πρώτα με πόσους τρόπους μπορούμε να τους χωρίσουμε σε δυάδες χωρίς τους οποιουσδήποτε περιορισμούς:

Υπάρχουν (2m)! τρόποι να τους βάλουμε όλους στην σειρά. Ακολούθως φτιάχνουμε δυάδες παίρνοντας τα άτομα ανά δύο. Μόνο που κάθε συγκεγκριμένος διαχωρισμός παράγεται με m!2^m τρόπους. (m! τρόποι να ανακατέψουμε την σειρά των δυάδων και 2^m τρόποι για να ανακατέψουμε την σειρά σε κάθε δυάδα.)

Άρα χωρίς περιορισμούς έχουμε \displaystyle  \frac{(2m)!}{2^m m!} τρόπους. Επίσης έχουμε \displaystyle  \frac{(2m-2)!}{(m-1)!2^{m-1}} τρόπους για να βάλουμε τους δυο πιο γρήγορους μαζί, και άλλους τόσους για να βάλουμε τους πιο αργούς μαζί. Τέλος έχουμε \displaystyle  \frac{(2m-4)!}{(m-2)!2^{m-2}} για να βάλουμε και τους δύο πιο γρήγορους μαζί και τους δύο πιο αργούς μαζί.

Άρα από αρχή αποκλεισμού εγκλεισμού έχουμε

\displaystyle  \begin{aligned} 
\frac{(2m)!}{2^m m!} - 2\cdot \frac{(2m-2)!}{(m-1)!2^{m-1}} + \frac{(2m-4)!}{(m-2)!2^{m-2}} &= \frac{(2m-4)!}{(m-2)!2^{m-2}}\left[ \frac{2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)}{4m(m-1)} - \frac{(2m-2)(2m-3)}{m-1} + 1 \right] \\ 
&= \frac{(2m-4)!}{(m-2)!2^{m-2}}\left[ (2m-1)(2m-3) -2(2m-3) + 1\right] \\ 
&= \frac{(2m-4)!}{(m-2)!2^{m-2}}[4m^2 - 12m + 10] 
\end{aligned}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης