Κατανομή Φρούτων!

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

JimNt.
Δημοσιεύσεις: 513
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Κατανομή Φρούτων!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Απρ 04, 2017 9:12 pm

Έχουμε 6 μήλα, 6 αχλάδια και 6 πορτοκάλια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να δώσουμε 9 φρούτα σε 2 παιδιά; (Έχει σημασία το είδος φρούτου) Για μαθητές.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 735
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κατανομή Φρούτων!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Απρ 04, 2017 9:46 pm

Δίνουμε 9 φρούτα στο κάθε παιδί ξεχωριστά ή συνολικά;


Houston, we have a problem!
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 513
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Κατανομή Φρούτων!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Απρ 04, 2017 9:47 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δίνουμε 9 φρούτα στο κάθε παιδί ξεχωριστά ή συνολικά;
Συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 735
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κατανομή Φρούτων!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Απρ 04, 2017 10:45 pm

Έστω πως a, b είναι το πλήθος των μήλων που θα πάρει το πρώτο και δεύτερο παιδί αντίστοιχα, c, d είναι το πλήθος των αχλαδιών που θα πάρει το πρώτο και δεύτερο παιδί αντίστοιχα και e, f πλήθος των πορτοκαλιών που θα πάρει το πρώτο και δεύτερο παιδί αντίστοιχα.

Τότε το πλήθος των μοιρασιών είναι ίσο με το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης:

a+b+c+d+e+f=9, με την προϋπόθεση πως a+b\leq 6, c+d\leq 6, e+f\leq 6.

Χωρίς περιορισμούς η εξίσωση έχει \displaystyle{\binom{9+6-1}{9}=\binom{14}{9}=2002} μη αρνητικές λύσεις. Θα αφαιρέσουμε τις άκυρες:

Συγκεκριμένα θα βρούμε αρχικά το πλήθος λύσεων της εξίσωσης:

a+b+c+d+e+f=9, με την προϋπόθεση πως 7 \leq a+b\leq 9 (1).

Παίρνουμε περιπτώσεις :roll: :

Αν a+b=7 τότε το πλήθος λύσεων είναι ίσο με το γινόμενο του πλήθους των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης a+b=7 με το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της c+d+e+f=2, δηλαδή 8\cdot 10=80.

Όμοια αν a+b=8 έχουμε 36 λύσεις και αν a+b=9 έχουμε 10 λύσεις.

Συνολικά το πλήθος λύσεων της (1) είναι 80+36+10=126.

Όμοια το πλήθος λύσεων της εξίσωσης a+b+c+d+e+f=9, με 7 \leq c+d\leq 9 και της a+b+c+d+e+f=9, με 7 \leq e+f\leq 9 είναι 126 και 126.

Αφού δεν γίνεται να ισχύουν ταυτόχρονα δύο ή και τρεις από τις συνθήκες a+b\geq 7, c+d\geq 7 και e+f\geq 7, έχουμε με PIE πως το πλήθος λύσεων της αρχικής εξίσωσης είναι:

2002-3\cdot 126=1624
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τρί Απρ 04, 2017 10:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 513
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Κατανομή Φρούτων!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Απρ 04, 2017 10:46 pm

Ακριβώς! :coolspeak:


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Κατανομή Φρούτων!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τετ Απρ 05, 2017 12:13 am

Υπάρχει λύση με Γεννήτριες ;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7889
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κατανομή Φρούτων!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Απρ 05, 2017 11:31 am

Υπάρχει αλλά όχι τόσο απλή:

Η γεννήτρια συνάρτηση της κατανομής των μήλων είναι η f(x)  = 1+2x+3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6 αφού για n \in \{0,1,\ldots,6\} υπάρχουν n+1 τρόποι να δώσουμε n μήλα στα δύο παιδιά.

Παρατηρούμε επίσης ότι

\displaystyle{ f(x) = (1+x+\cdots + x^7)' = \left(\frac{1-x^8}{1-x} \right)' = -\frac{8x^7}{1-x} + \frac{1-x^8}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} (1-8x^7 + 7x^8)}

Μας ενδιαφέρει ο συντελεστής του x^9 στην δυναμοσειρά του \displaystyle{ f(x)^3 = \frac{(1-8x^7+7x^8)^3}{(1-x)^6}}

Από το διωνυμικό θεώρημα είναι \displaystyle{(1-x)^{-6} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{-6}{n} x^n= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(-6)(-7) \cdots (-n-5)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{n+5}{5} x^n}

Επίσης (1-8x^7 + 7x^8)^3 = 1 - 24x^7 + 21x^8 + g(x) όπου όλες οι δυνάμεις που εμφανίζονται στο g(x) είναι μεγαλύτερες του 9.

Άρα ο συντελεστής του x^9 στο ανάπτυγμα του f(x)^3 ισούται με

\displaystyle{ \binom{14}{5} - 24\binom{7}{2} + 21\binom{6}{1} = 2002 - 504 + 126 = 1624.}


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Κατανομή Φρούτων!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τετ Απρ 05, 2017 2:55 pm

Demetres έγραψε:Υπάρχει αλλά όχι τόσο απλή:

Η γεννήτρια συνάρτηση της κατανομής των μήλων είναι η f(x)  = 1+2x+3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6 αφού για n \in \{0,1,\ldots,6\} υπάρχουν n+1 τρόποι να δώσουμε n μήλα στα δύο παιδιά.

Παρατηρούμε επίσης ότι

\displaystyle{ f(x) = (1+x+\cdots + x^7)' = \left(\frac{1-x^8}{1-x} \right)' = -\frac{8x^7}{1-x} + \frac{1-x^8}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} (1-8x^7 + 7x^8)}

Μας ενδιαφέρει ο συντελεστής του x^9 στην δυναμοσειρά του \displaystyle{ f(x)^3 = \frac{(1-8x^7+7x^8)^3}{(1-x)^6}}

Από το διωνυμικό θεώρημα είναι \displaystyle{(1-x)^{-6} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{-6}{n} x^n= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(-6)(-7) \cdots (-n-5)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{n+5}{5} x^n}

Επίσης (1-8x^7 + 7x^8)^3 = 1 - 24x^7 + 21x^8 + g(x) όπου όλες οι δυνάμεις που εμφανίζονται στο g(x) είναι μεγαλύτερες του 9.

Άρα ο συντελεστής του x^9 στο ανάπτυγμα του f(x)^3 ισούται με

\displaystyle{ \binom{14}{5} - 24\binom{7}{2} + 21\binom{6}{1} = 2002 - 504 + 126 = 1624.}
Σας ευχαριστώ πολυ !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης