Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 501
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Μαρ 21, 2017 6:48 pm

Επειδη τα δύο τελευταία θέματα συνδυαςτικης που ανέβασα δεν ηταν και πολυ ωραια θα ανταποδώσω εις διπλούν με αυτο το πανέμορφο κατα την προσωπική μου αποψη θεμα. Ας το αφήσουμε μέχρι αύριο για τους μαθητές

Να αποδείξετε οτι καθε πολύγωνο με 21 κορυφές εχει δυο διαγώνιους που σχηματίζουν γωνία μικρότερη της 1^o.



ΥΓ. Επειδη είναι ωραίο θέμα θα ήθελα ολοκληρωμένη λύση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Μαρ 21, 2017 7:22 pm

Αν δύο διαγώνιοι είναι παράλληλες, θεωρούμε πως έχουν γωνία 0^o;


Houston, we have a problem!
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 501
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Μαρ 21, 2017 7:28 pm

Ναι.


Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Τρί Μαρ 21, 2017 7:45 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επειδη τα δύο τελευταία θέματα συνδυαςτικης που ανέβασα δεν ηταν και πολυ ωραια θα ανταποδώσω εις διπλούν με αυτο το πανέμορφο κατα την προσωπική μου αποψη θεμα. Ας το αφήσουμε μέχρι αύριο για τους μαθητές

Να αποδείξετε οτι καθε πολύγωνο με 21 κορυφές εχει δυο διαγώνιους που σχηματίζουν γωνία μικρότερη της 1^o.



ΥΓ. Επειδη είναι ωραίο θέμα θα ήθελα ολοκληρωμένη λύση.
Κάθε n-gon έχει \dfrac{n(n-3)}{2} διαγωνίους. Αν από κάποιο σημείο φέρουμε παράλληλες προς κάθε διαγώνιο δημιουργούμε n(n-3) γωνίες με άθροισμα 360 μοίρες.Όμως για n=21 έχουμε n(n-3)=378 άρα από περιστεροφωλιά τουλάχιστον μία γωνία θα είναι μικρότερη της 1 μοίρας.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Μαρ 21, 2017 7:47 pm

Το πλήθος των διαγωνίων ενός κυρτού 21-γώνου είναι \binom{21}{2}-21=189 (Αυτό ισχύει επειδή κάθε διαγώνιος προκύπτει παίρνοντας ανά δύο όλες τις κορυφές του 21-γώνου, αφαιρούμε όμως μετά τις περιπτώσεις που οι "διαγώνιοι" είναι πλευρές του 21-γώνου).

Φέρνουμε από την κάθε διαγώνιο παράλληλη που να περνάει από από ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου.

Προφανώς σχηματίζονται 378 διαδοχικές γωνίες (γιατί έχουμε και τις κατακορυφείν γωνίες), κάθε μια από τις οποίες είναι ίση με μια από τις γωνίες που σχηματίζουν οι διαγώνιοι.

Όμως το άθροισμα όλων αυτών των γωνιών είναι 360^o, άρα σίγουρα θα υπάρχει μια γωνία που είναι μικρότερη της 1^o (διαφορετικά το άθροισμα των γωνιών θα ήταν μεγαλύτερο από 360^o, άτοπο).

Η γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοι που αντιστοιχεί στην παραπάνω γωνία είναι μικρότερη από 1^o.

Βλέπω με ότι πρόλαβαν...


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Μαρ 22, 2017 9:58 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Να αποδείξετε οτι καθε πολύγωνο με 21 κορυφές εχει δυο διαγώνιους που σχηματίζουν γωνία μικρότερη της 1^o.
Είδαμε ένα παρόμοιο κι εδώ


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης