Εξίσωση
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εξίσωση
Γράφουυμε . Τότε έχουμε για κάποιους θετικούς ακεραίους με . Έχουμε
Έστω περιττός πρώτος τέτοιος, ώστε . Τότε . Χωρίς βλάβη της γενικότητας . Τότε . Αν τότε και επειδή καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα . Έστω μέγιστο ώστε . Τότε μέγιστο ώστε . Όμως και έχουμε επίσης ότι . Επομένως , άτοπο.
Άρα το είναι δύναμη του . Επειδή , δεν μπορούν τα να είναι όλα άρτιοι. Αναγκαστικά θα έχουμε έναν άρτιο, έστω τον και δύο περιττός. Έστω μέγιστο ώστε . Τότε έχουμε και . Έχουμε επίσης ότι , άρα και . Αφού και περιττοί, τότε . Από τον ορισμό του πρέπει και αφού , τότε .
Επίσης, για να έχουμε ισότητα στην πιο πάνω παράγραφο, πρέπει αφού αλλιώς θα είχαμε που θα κατέληγε σε άτοπο.
Τότε όμως είναι και προκύπτει .
Άρα μόνες τριάδες είναι οι και οι μεταθέσεις της.
Re: Εξίσωση
Κάπως πιο απλά:
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτω .
Προφανώς:
Και επειδή καθένας από τους , , διαιρεί τον , έπεται πως
Τώρα, εάν ήταν , τότε θα ήταν επίσης , ατοπο. Έτσι, είναι υποχρεωτικά .
Με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε και κατόπιν . Έτσι, προκύπτει .
Από τη σχέση , ομως, έχουμε: .
Εύκολα μετά: , απ' όπου .
Έτσι, οι μοναδικές λύσεις είναι οι και οι αντιμεταθέσεις τους.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτω .
Προφανώς:
Και επειδή καθένας από τους , , διαιρεί τον , έπεται πως
Τώρα, εάν ήταν , τότε θα ήταν επίσης , ατοπο. Έτσι, είναι υποχρεωτικά .
Με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε και κατόπιν . Έτσι, προκύπτει .
Από τη σχέση , ομως, έχουμε: .
Εύκολα μετά: , απ' όπου .
Έτσι, οι μοναδικές λύσεις είναι οι και οι αντιμεταθέσεις τους.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εξίσωση
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες