Δύσκολη Διοφαντική

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Joaakim
Δημοσιεύσεις: 98
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Δύσκολη Διοφαντική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Τετ Μάιος 12, 2021 4:33 pm

Καλησπέρα σε όλους!
Μία ιδιοκατασκευή:
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (x,y,z), τέτοιοι ώστε:
47^{x}=43^{y}+2^{z}.



Λέξεις Κλειδιά:
2nisic
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Δύσκολη Διοφαντική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τετ Μάιος 12, 2021 11:18 pm

:santalogo: Για z=1 έχουμε:
LHS=1,7(mod8)
RHS=3,5(mod8)
Αδύνατο.


:santalogo: Για z>=3 έχουμε:
Με mod8 έχουμε x=y=0(mod2)
Με αφερεση τετραγώνων επειδή οι παράγοντες έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 2 θα ισχύει ένα από τα:
47^a-43^b=2 αδύνατο από την προηγούμενη περίπτωση.
47^a+43^b=2 αδύνατο.


:santalogo: Αν z=2 τότε έχουμε 47^x=43^y+4
:logo: Αν y>=2 με mod43^2,173 οδηγούμαστε σε LHS\not\equiv RHS(mod173) αδύνατο.
:logo: Ανy=1 τότε (x,y,z):(1,1,2)



Άρα μοναδική λύση η (x,y,z):(1,1,2)


Joaakim
Δημοσιεύσεις: 98
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Δύσκολη Διοφαντική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Τετ Μάιος 12, 2021 11:26 pm

2nisic έγραψε:
Τετ Μάιος 12, 2021 11:18 pm
:santalogo: Για z=1 έχουμε:
LHS=1,7(mod8)
RHS=3,5(mod8)
Αδύνατο.


:santalogo: Για z>=3 έχουμε:
Με mod8 έχουμε x=y=0(mod2)
Με αφερεση τετραγώνων επειδή οι παράγοντες έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 2 θα ισχύει ένα από τα:
47^a-43^b=2 αδύνατο από την προηγούμενη περίπτωση.
47^a+43^b=2 αδύνατο.


:santalogo: Αν z=2 τότε έχουμε 47^x=43^y+4
:logo: Αν y>=2 με mod43^2,173 οδηγούμαστε σε LHS\not\equiv RHS(mod173) αδύνατο.
:logo: Ανy=1 τότε (x,y,z):(1,1,2)



Άρα μοναδική λύση η (x,y,z):(1,1,2)
Πολύ ωραία :coolspeak: . Έχω την ίδια λύση. Εναλλακτικά, για z \geq 3, αφού δείξουμε ότι x,y άρτιοι, μπορούμε να πάρουμε άτοπο μεμιάς
και με modulo 3. Να πούμε βέβαια ότι ο αριθμός 173 δεν προκύπτει <<τυχαία>>.


Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Δύσκολη Διοφαντική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Πέμ Μάιος 13, 2021 7:48 am

Συγγνώμη για την καθυστέρηση.
Επί της ουσίας εργάζομαι όπως ο Διονύσης.
Ορίστε η λύση μου με mod 3, όπως έκανε και ο Ιωακείμ.

Αφού έχουμε δείξει ότι x,y = even με mod 8, έχουμε:

LHS\equiv 1 mod 3,

43^x\equiv 1mod3,

2^z\equiv (1,2)mod3

Αρα RHS=(2,3)mod3\not\equiv LHS

Και συνεχίζουμε όπως ο Διονύσης


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Τσιαλας Νικολαος και 1 επισκέπτης