Δύσκολη Διοφαντική

Joaakim · #1

Καλησπέρα σε όλους!
Μία ιδιοκατασκευή:
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (x,y,z)

, τέτοιοι ώστε:
$47^{x}=43^{y}+2^{z}$ .

2nisic · #2

Για

έχουμε:

Αδύνατο.

Για

έχουμε:
Με mod8

έχουμε

Με αφερεση τετραγώνων επειδή οι παράγοντες έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το

θα ισχύει ένα από τα:
47^a-43^b=2

αδύνατο από την προηγούμενη περίπτωση.
47^a+43^b=2

αδύνατο.

Αν

τότε έχουμε 47^x=43^y+4

Αν

με

οδηγούμαστε σε $LHS\not\equiv RHS(mod173)$ αδύνατο.

Αν

τότε

Άρα μοναδική λύση η (x,y,z):(1,1,2)

Joaakim · #3

2nisic έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 12, 2021 11:18 pm
Για έχουμε:

Αδύνατο.

Για έχουμε:
Με έχουμε
Με αφερεση τετραγώνων επειδή οι παράγοντες έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το θα ισχύει ένα από τα:
αδύνατο από την προηγούμενη περίπτωση.
αδύνατο.

Αν τότε έχουμε
Αν με οδηγούμαστε σε $LHS\not\equiv RHS(mod173)$ αδύνατο.
Αν τότε

Άρα μοναδική λύση η

Πολύ ωραία

. Έχω την ίδια λύση. Εναλλακτικά, για $z \geq 3$ , αφού δείξουμε ότι x,y

άρτιοι, μπορούμε να πάρουμε άτοπο μεμιάς
και με modulo 3

. Να πούμε βέβαια ότι ο αριθμός 173

δεν προκύπτει <<τυχαία>>.

Lymperis Karras · #4

Συγγνώμη για την καθυστέρηση.
Επί της ουσίας εργάζομαι όπως ο Διονύσης.
Ορίστε η λύση μου με mod 3

, όπως έκανε και ο Ιωακείμ.

Αφού έχουμε δείξει ότι x,y = even

με

, έχουμε:

$LHS\equiv 1 mod 3$ ,

$43^x\equiv 1mod3$ ,

$2^z\equiv (1,2)mod3$

Αρα $RHS=(2,3)mod3\not\equiv LHS$

Και συνεχίζουμε όπως ο Διονύσης

Δύσκολη Διοφαντική

Δύσκολη Διοφαντική

Re: Δύσκολη Διοφαντική

Re: Δύσκολη Διοφαντική

Re: Δύσκολη Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση