mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 26, 2021 6:43 pm**

Αν

πρώτος θετικός ακέραιος, και x,y

θετικοί ακέραιοι, να βρείτε όλα τα ζευγάρια (x,y)

συναρτήσει του

, που είναι λύσεις της εξίσωσης p(x-2)=x(y-1)

σχέση

. Αν επιπλέον δίνεται ότι x+y=21

, να βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p)

που είναι λύσεις της εξίσωσης (1)

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 26, 2021 8:40 pm**

Επειδή ο

είναι πρώτος προκύπτουν οι παρακάτω πιθανές περιπτώσεις:

* x=p

&

**

&

(αδύνατο)

*** x=1

&

****

&

Δηλαδή $(x,y)\in \left \{(p,p-1), (1, 1-p), (\frac{2p}{p-1},2) \right \}$ .

Αν επιπλέον x+y=21

*

δεκτό

*** p=-19

αδύνατο ,

**** $p=\frac{19}{17}$ αδύνατο, $\frac{19}{17}\notin\mathbb{P}$

Δηλαδή η μοναδική λύση είναι το (x,y,p)=(11,10,11)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 26, 2021 9:13 pm**

nikhtas30 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 8:40 pm
Δηλαδή η μοναδική λύση είναι το

Για ξαναδες το. Είναι όντως η μοναδική λύση? Επίσης, νομίζω πως η μέθοδός σου είναι λάθος. Δεν είναι μόνο αυτές οι περιπτώσεις, διότι οι παράγοντες τις εξίσωσης (όλοι εκτός του

), μπορούν να είναι και πρώτοι και σύνθετοι. Αν θες προσπάθησέ την άλλη μία, σου δίνω και ένα hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 26, 2021 11:55 pm**

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 6:43 pm
Αν πρώτος θετικός ακέραιος, και θετικοί ακέραιοι, να βρείτε όλα τα ζευγάρια συναρτήσει του , που είναι λύσεις της εξίσωσης σχέση . Αν επιπλέον δίνεται ότι , να βρείτε όλες τις τριάδες που είναι λύσεις της εξίσωσης .

Είναι $x|p(x-2) \Rightarrow x|-2p \Rightarrow x|2p \Rightarrow x=1,2,p,2p$ .
Αν x=1

, τότε

, άτοπο.
Αν x=2

, τότε $y-1=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow (x,y)=(2,1)$ .
Αν x=p

, τότε $y-1=p-2 \Rightarrow y=p-1 \Rightarrow (x,y)=(p,p-1)$ .
Αν x=2p

, τότε $2p-2=2(y-1) \Rightarrow p-1=y-1 \Rightarrow p=y \Rightarrow (x,y,p)=(2p,p,p)$ .

Για x+y=21

:
$2p-1=21 \Rightarrow 2p=22 \Rightarrow p=11 \Rightarrow x=11,y=10 \Rightarrow (x,y,p)=(11,10,11)$ , ή,
$3p=21 \Rightarrow p=7 \Rightarrow x=14,y=7 \Rightarrow (x,y,p)=(14,7,7)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 27, 2021 10:20 am**

Joaakim έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 11:55 pm

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 6:43 pm
Αν πρώτος θετικός ακέραιος, και θετικοί ακέραιοι, να βρείτε όλα τα ζευγάρια συναρτήσει του , που είναι λύσεις της εξίσωσης σχέση . Αν επιπλέον δίνεται ότι , να βρείτε όλες τις τριάδες που είναι λύσεις της εξίσωσης .
Είναι $x|p(x-2) \Rightarrow x|-2p \Rightarrow x|2p \Rightarrow x=1,2,p,2p$ .
Αν , τότε , άτοπο.
Αν , τότε $y-1=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow (x,y)=(2,1)$ .
Αν , τότε $y-1=p-2 \Rightarrow y=p-1 \Rightarrow (x,y)=(p,p-1)$ .
Αν , τότε $2p-2=2(y-1) \Rightarrow p-1=y-1 \Rightarrow p=y \Rightarrow (x,y,p)=(2p,p,p)$ .

Για :
$2p-1=21 \Rightarrow 2p=22 \Rightarrow p=11 \Rightarrow x=11,y=10 \Rightarrow (x,y,p)=(11,10,11)$ , ή,
$3p=21 \Rightarrow p=7 \Rightarrow x=14,y=7 \Rightarrow (x,y,p)=(14,7,7)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 27, 2021 3:00 pm**

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 9:13 pm

nikhtas30 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 26, 2021 8:40 pm
Δηλαδή η μοναδική λύση είναι το
Για ξαναδες το. Είναι όντως η μοναδική λύση? Επίσης, νομίζω πως η μέθοδός σου είναι λάθος. Δεν είναι μόνο αυτές οι περιπτώσεις, διότι οι παράγοντες τις εξίσωσης (όλοι εκτός του ), μπορούν να είναι και πρώτοι και σύνθετοι. Αν θες προσπάθησέ την άλλη μία, σου δίνω και ένα hint:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
λύστο με διαιρετότητα (πχ διαιρεί το και λοιπά)

Άργησα, αλλά κάλλιο αργά παρά ποτέ...

$\frac{px-2p}{x}=y-1\Leftrightarrow y=p-\frac{2p}{x}+1$

Επειδή:

$y\in\mathbb{Z^+}\Rightarrow p-\frac{2p}{x}+1\in\mathbb{Z^+}\Rightarrow$
$p-\frac{2p}{x}+1≥1\wedge \frac{2p}{x}\in\mathbb{Z^+}\Leftrightarrow$
$x≥2\wedge\frac{2p}{x}≥1\wedge x|2p\Leftrightarrow$
$2≤x≤2p\wedge x|2p\Leftrightarrow x\in\left \{2, p, 2p \right \}$