Θεωρία Αριθμών

2nisic · #1

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι $\overline{xyz}$ τέτοιοι ώστε:

$\overline{xyz}=x+y+z+xy+xz+zy+xyz$

Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι $\overline{xyzw}$ τέτοιοι ώστε:

$\overline{xyzw}=x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw$

Μπορούμε να γενικεύουμε;

Manolis Petrakis · #2

Είναι

$\Leftrightarrow 99x+9y=xy+yz+zx+xyz$
Αλλά $xyz\leq 81x$ το

όταν

$xy\leq 9x$ το

όταν

$xz\leq 9x$ το

όταν

$zy \leq 9y$ το

όταν

Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε
$99x+9y\geq xy+yz+zx+xyz$ με το

όταν

Άρα $\overline{xyz}=199 \ \acute \eta \ 299 ...\ \acute \eta \ 999$
Για τη 2η περίπτωση εργαζόμαστε με όμοιο τρόπο:
$\overline{xyzw}=x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw$
$\Leftrightarrow 999x+99y+9z=xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw$
Όπως παραπάνω:
$xy\leq 9x$
$xz\leq 9x$
$xw\leq 9x$
$yz\leq 9y$
$yw\leq 9y$
$zw\leq 9z$
$xyz\leq 81x$
$xyw\leq 81x$
$xzw\leq 81x$
$yzw\leq 81y$
$xyzw\leq 729x$
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:
$xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw\leq 999x+99y+9z$
Το

όταν

Άρα $\overline{xyzw}=1999 \ \acute \eta \ 2999 ...\ \acute \eta \ 9999$
Παρόμοια θα είναι και η γενίκευση για την οποία θα προσπαθήσω να επανέλθω

2nisic · #3

Για την γενίκευση χρισοιμοποιουμε την ταυτότητα:

$9^{a}+\binom{a}{1}9^{a-1}+....+\binom{a}{a-1}9=9^{a}+\binom{a}{1}9^{a-1}+....+\binom{a}{a-1}9+1-1=(9+1)^{a}-1=10^{a}-1$

Joaakim · #4

Κάποιος επίσης θα μπορούσε να παραγοντοποιήσει ως εξής
$10 \overline {xy}=(xy+x+y)(z+1)$ , και να ασχοληθεί με mod.2

και

.

#5

2nisic έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 05, 2021 10:14 am
Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι $\overline{xyz}$ τέτοιοι ώστε:

$\overline{xyz}=x+y+z+xy+xz+zy+xyz$

Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι $\overline{xyzw}$ τέτοιοι ώστε:

$\overline{xyzw}=x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw$

Μπορούμε να γενικεύουμε;

α) Για το πρώτο και μάλιστα με την ασθενέστερη υπόθεση $\overline{xyz}\le x+y+z+xy+xz+zy+xyz$ .

Γράφεται $\displaystyle{100x+10y\le (xy+x+y)(z+1) \,(*)}$ .

Άρα $\displaystyle{100x+10y\le 10 (xy+x+y) }$ ή $10x+y\le xy +x+y$ και άρα $9x\le xy$ , οπότε $\boxed{y=9}$ .

Πίσω στην (*)

έχουμε $100x+90\le (10x+9)(z+1)$ , ισοδύναμα $10\le z+1$ , οπότε $\boxed{z=9}$ . Και λοιπά.

β) Για το δεύτερο με την ασθενέστερη υπόθεση

$\overline{xyzw}\le x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw$ .

Γράφεται $\displaystyle{1000x+100y+10z \le (xyz+xy+xz+yz+x+y+z)(w+1)\, (*)}$ , άρα

$\displaystyle{1000x+100y+10z \le 10 (xyz+xy+xz+yz+x+y+z)}$ , οπότε

$\displaystyle{100x+10y+z \le xyz+xy+xz+yz+x+y+z}$ . Από το πρώτο μέρος είναι $\boxed{y=z=9}$ .

Πίσω στην (*)

είναι $\displaystyle{1000x+990 \le (100x+99)(w+1) }$ , ισοδύναμα $10 \le w+1$ , άρα $\boxed {w=9}$ .

Η ίδια τεχνική γενικεύεται.

Joaakim · #6

Είναι το Πρόβλημα 1 από Jbmo Test στην Βοσνία το 2017.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 2p11004295

Θεωρία Αριθμών

Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Μέλη σε σύνδεση