"Διοφαντική"

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση

$31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right)$ .

2nisic · #2

Αν $x\geq 2$ τότε LHS> RHS

Άρα

και έχω:

Αν

τότε

Αν

τότε

Άρα

και έχω:

......

Μοναδική λύση η (x,y, z,t):(1,2,2,4)

Al.Koutsouridis · #3

Τα λόγκο νομίζω δεν χρειάζονται. Περιμένουμε και μια πιο ευφάνταστη λύση

Al.Koutsouridis · #4

έγραψε:
Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm
Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση

$31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right)$ .

Αν και "άσχημη" στην μορφή η εξίσωση αυτή φτιάχτηκε πάνω σε όμορφη ιδέα.

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{40}{31} = x + \dfrac{1}{ y + \dfrac{1}{ z + \dfrac{1}{t} } } }$

Η ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα του αριθμού $\dfrac{40}{31}$ είναι [1; 3, 2, 4]

και επειδή είναι μοναδική για κάθε αριθμό, η λύση της εξίσωσης είναι (x,y,z,t) = (1,3,2,4)

.

bouzoukman · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 04, 2021 9:54 pm
Αν και "άσχημη" στην μορφή η εξίσωση αυτή φτιάχτηκε πάνω σε όμορφη ιδέα.

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{40}{31} = x + \dfrac{1}{ y + \dfrac{1}{ z + \dfrac{1}{t} } } }$

Η ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα του αριθμού $\dfrac{40}{31}$ είναι και επειδή είναι μοναδική για κάθε αριθμό, η λύση της εξίσωσης είναι .

Σε πολύ ωραία ιδέα βασίζεται η άσκηση!!!!

Δε νομίζω ότι θα το σκεφτόμουν ποτέ....

Al.Koutsouridis · #6

bouzoukman έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 05, 2021 1:40 pm
Σε πολύ ωραία ιδέα βασίζεται η άσκηση!!!! Δε νομίζω ότι θα το σκεφτόμουν ποτέ....

Για να μην παρεξηγούμαι ούτε ή άσκηση, ούτε η λύση είναι δικές μου. Νομίζω την είχα δει σε παλιό τεύχος του περιοδικού "Μαθηματικά στο σχολείο".

S.E.Louridas · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm
Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση
$31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right)$ .

Όταν έχουμε «διοφαντική» με πολλές μεταβλητές ένας τρόπος - μεθοδολογική ανάλυση είναι μία πορεία επίλυσης που δημιουργεί περιορισμούς σε συνδυασμό με το ότι το σύνολο των ακεραίων είναι διακριτό, χωρίς βέβαια να επιτυγχάνει πάντοτε.

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: $31\left( {zt + 1} \right) = \left( {yz + y + t} \right)\left( {40 - 31x} \right),$ οπότε $0 < x \leqslant \frac{{40}}{{31}} \Rightarrow x = 1.$
Έτσι παίρνουμε $\left( {31 - 9y} \right)\left( {3z + 1} \right) = 9t,$ οπότε προκύπτει $0 < y \leqslant \frac{{31}}{9}\;{\text{\dot \eta }}\;y \in \left\{ {1,2,3} \right\}.$
Αν y=1

καταλήγουμε στο άτοπο (22z-9)t+22=0.

Αν

, τότε, καταλήγουμε στο άτοπο 3/3z+1,

επομένως

Αυτό μας οδηγεί στην επίλυση της $t\left( {9 - 4z} \right) = 4,\;0 < z \leqslant 2.$
Αν z=1

καταλήγουμε στο άτοπο 5t=4.

Τελικά δεχόμαστε την z=2

συνεπώς και την t=4.

Μία γρήγορη πλέον επαλήθευση «πείθει» για την αποδοχή των τιμών αυτών ως λύσεις.

"Διοφαντική"

"Διοφαντική"

Re: "Διοφαντική"

Re: "Διοφαντική"

Re: "Διοφαντική"

Re: "Διοφαντική"

Re: "Διοφαντική"

Re: "Διοφαντική"

Μέλη σε σύνδεση