Με διαιρέτες

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Με διαιρέτες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Μαρ 26, 2020 9:42 pm

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους n που έχουν 16 θετικούς διαιρέτες d_1, d_2, . . ., d_{16} για τους οποίους ισχύει

1 = d_1 < d_2 < ... < d_{16} = n, \  \ \ d_6 = 18 \ και  \ d_9 − d_8 = 17.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Με διαιρέτες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Μαρ 28, 2020 3:17 pm

socrates έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 9:42 pm
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους n που έχουν 16 θετικούς διαιρέτες d_1, d_2, . . ., d_{16} για τους οποίους ισχύει

1 = d_1 < d_2 < ... < d_{16} = n, \  \ \ d_6 = 18 \ και  \ d_9 − d_8 = 17.
Επειδή οι \left \{ 1,2,3,6,9,18 \right \} είναι διαιρέτες του 18 που διαιρεί τον \rm n θα είναι και διαιρέτες του \rm n .Είναι λοιπόν \rm d_1=1,d_2=2,d_3=3,d_4=6,d_5=9,d_6=18.
Έστω ο \rm n στην κανονική του μορφή \displaystyle {\rm n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}}.Τότε είναι γνωστό πως το πλήθος των διαιρετών του θα είναι \displaystyle {\rm \prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}.Έχουμε λοιπόν πως \displaystyle {\rm \prod_{i=1}^{k}(a_i+1)=16}.
Επειδή \rm a_i\geq 1 \forall i και \rm 2,3\mid n θα είναι \rm 2\leq k\leq 4.
Επειδή όμως \rm \upsilon _3(n)\geq 2 η τιμή 4 απορρίπτεται (τότε θα έπρεπε \rm  a_1=a_2=a_3=a_4=1).
Αν \rm k=2 τότε αφού \rm \upsilon _2(n)=1 θα είναι \rm a_1=1 και \rm a_2=7,τότε θα είναι \rm n=2\cdot 3^7 για το οποίο όμως δεν μπορεί να ισχύει  \rm d_9 − d_8 = 17 αφού τα \rm d_9,d_8 θα έχουν κοινό παράγοντα.

Είναι λοιπόν \rm k=3 και έτσι \rm 16=(1+1)(a_2+1)(a_3+1)\Rightarrow a_2+1=1,2,4.Επειδή \rm a_2 \geq 2 έπεται πως \rm a_2=3,a_3=2 και έτσι \rm n=2\cdot 3^3\cdot p με \rm p πρώτο \geq 19.
Εξετάζω τις εξής περιπτώσεις:
  • \rm p> 54
    Τότε θα είναι \rm d_7=27,d_8=54,d_9=p και έτσι θα πρέπει \rm p-54=17 \Leftrightarrow p=71 δεκτό άρα μία λύση η \rm n=2 \cdot 3^3\cdot 71=3834.
  • \rm 27<p<54
    Τότε  \rm d_7=27,d_8=p,d_9=54 (αφού \rm 2p>54) και έτσι \rm p=37 δεκτό άρα μια άλλη λύση η \rm n=2 \cdot 3^3\cdot 37=1998
  • Για \rm n<27 τότε \rm d_7=p,d_8=27,d_9=2p (αφού \rm 2p<54) και έτσι \rm 2p-27=17 \Leftrightarrow 2p=44 \Leftrightarrow p=22 που απορρίπτεται.

Άρα \rm n=3834,1998.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Με διαιρέτες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 29, 2020 12:18 am

:coolspeak:


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες