Διοφαντική
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 61
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am
Re: Διοφαντική
έχουμε:
(στην παρένθεση οι κλάσεις που επαναλαμβάνονται)
(ομοίως)
(ομοίως).
Βλέπουμε εύκολα ότι η εξίσωση δεν μπορεί να ισχύει για κλάσεις μέσα στις παρενθέσεις,οπότε αναγκαστικά ή .
Μάλιστα αν βλέποντας πάλι τις παρενθέσεις,δε γίνεται να υπάρχει ισότητα.
Επομένως:
Αν παίρνουμε την τετριμμένη λύση .
Αλλιώς, και .
Βλέποντας πάλι τις παρενθέσεις,πρέπει ,οπότε παίρνοντας πρέπει δηλαδή που προφανώς δε γίνεται.
Άρα δεν υπάρχουν άλλες λύσεις..
Υγ.Deja Vu (με άλλον τρόπο όμως)
(στην παρένθεση οι κλάσεις που επαναλαμβάνονται)
(ομοίως)
(ομοίως).
Βλέπουμε εύκολα ότι η εξίσωση δεν μπορεί να ισχύει για κλάσεις μέσα στις παρενθέσεις,οπότε αναγκαστικά ή .
Μάλιστα αν βλέποντας πάλι τις παρενθέσεις,δε γίνεται να υπάρχει ισότητα.
Επομένως:
Αν παίρνουμε την τετριμμένη λύση .
Αλλιώς, και .
Βλέποντας πάλι τις παρενθέσεις,πρέπει ,οπότε παίρνοντας πρέπει δηλαδή που προφανώς δε γίνεται.
Άρα δεν υπάρχουν άλλες λύσεις..
Υγ.Deja Vu (με άλλον τρόπο όμως)
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντική
Καλησπέρα Δημήτρη και Μίνο.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 22, 2020 8:52 pmΝα λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση:
,όπου θετικοί ακέραιοι.
Διακρίνω 2 περιπτώσεις:
Περίπτωση 1: Είναι . Τότε, . Τότε, , οπότε .
Αν , τότε με φυσικούς. Άρα, , οπότε έχουμε άτοπο (αν , τότε ).
Αν , τότε με θετικούς ακεραίους. Οπότε, .
Άρα, και με φυσικούς. Είναι, , άρα , οπότε , και επίσης .
Συνεπώς, , άτοπο.
Περίπτωση 2: Είναι . Τότε .
Αν , τότε , οπότε με φυσικό. Επίσης, , άρα με θετικό ακέραιο.
Άρα, προκύπτει . Παίρνοντας στη σχέση αυτή έχω ότι , άρα , που είναι άτοπο (εύκολο παίρνοντας με ).
Αν ,τότε και προκύπτει η λύση .
Τελικά, μόνη λύση η .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης