Άλλη μια ακέραια

Τσιαλας Νικολαος · #1

Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακέραιους.

615 + x^2 = 2^y

Υ.γ: ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί γιατί κάτι μου θυμίζει!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 1:33 am
Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακέραιους.

Υ.γ: ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί γιατί κάτι μου θυμίζει!

Καλημέρα!

Θα βρούμε λύσεις για θετικά

οπότε θα είναι και οι αντίθετές τους (η x=0

απορρίπτεται αφού πρέπει 2^y=615

άτοπο).Επίσης $2^y=615+x^2>615\Rightarrow y\geq 10$ .
$2^y\equiv 615+x^2\pmod 3\Leftrightarrow \left ( -1 \right )^y\equiv x^2 \pmod3\Leftrightarrow y\equiv 0\pmod2$
Έστω y=2k,k>4

.Η αρχική γράφεται $615=\left ( 2^k+x \right )\left ( 2^k-x \right )\Leftrightarrow 3\cdot 5\cdot 41=\left ( 2^k+x \right )\left ( 2^k-x \right )$
Επιπλέον έχουμε $k\geq 5\Leftrightarrow 2^k+x> 32$
Άρα οι δυνατές περιπτώσεις είναι:
$\left\{\begin{matrix} & 2^k-x=615 & \\ & 2^k+x=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=616$ άτοπο
$\left\{\begin{matrix} & 2^k+x=5\cdot 41 & \\ & 2^k-x=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=208$ άτοπο
$\left\{\begin{matrix} & 2^k+x=3\cdot 41 & \\ & 2^k-x=5 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=128\Leftrightarrow k=6\Leftrightarrow y=12,x=59$
$\left\{\begin{matrix} & 2^k+x=41 & \\ & 2^k-x=15 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=56$ άτοπο.
Μόνες λύσεις οι $\left ( x,y \right )=\left ( 59,12 \right ),\left ( -59,12 \right )$

Τσιαλας Νικολαος · #3

Μπράβο Πρόδρομε!!

Άλλη μια ακέραια

Άλλη μια ακέραια

Re: Άλλη μια ακέραια

Re: Άλλη μια ακέραια

Μέλη σε σύνδεση