Τέλειος κύβος

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12232
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Τέλειος κύβος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 1:35 am

Έχει λύση στους θετικούς ακεραίους η 3n^2+3n+25=m^3 ;

Μόλις την παρέλαβα από Ρουμανία από κάποιον που ζητά βοήθεια. Τέτοια μηνύματα παίρνω κάμποσα. Θα έλεγα 3 με 10 κάθε εβδομάδα, συνήθως από γνωστούς, είτε μαθητές που παρακολούθησαν κάποιο θερινό σχολείο που έκανα ή συναδέλφους. Απαντώ σε όλα.

Στο μήνυμά του ο αποστολέας λέει ότι το θέμα είναι από διαγωνισμό, Classa VIII, αλλά δεν προσδιορίζει ποιόν διαγωνισμό. Του έστειλα δύο λύσεις, κάπως παρεμφερείς.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Τέλειος κύβος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιαν 09, 2019 12:54 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 1:35 am
Έχει λύση στους θετικούς ακεραίους η 3n^2+3n+25=m^3 ;

Μόλις την παρέλαβα από Ρουμανία από κάποιον που ζητά βοήθεια. Τέτοια μηνύματα παίρνω κάμποσα. Θα έλεγα 3 με 10 κάθε εβδομάδα, συνήθως από γνωστούς, είτε μαθητές που παρακολούθησαν κάποιο θερινό σχολείο που έκανα ή συναδέλφους. Απαντώ σε όλα.

Στο μήνυμά του ο αποστολέας λέει ότι το θέμα είναι από διαγωνισμό, Classa VIII, αλλά δεν προσδιορίζει ποιόν διαγωνισμό. Του έστειλα δύο λύσεις, κάπως παρεμφερείς.
Μία λύση η οποία ξεφεύγει λίγο από τις γνώσεις του Γυμνασίου αλλά που βγάζει επιπλέον ότι δεν υπάρχουν λύσεις στους ακεραίους είναι η παρακάτω.

Τα κυβικά υπόλοιπα mod{9} είναι 0,\pm 1 (εύκολο). Συνεπώς πρέπει 3n^2+3n+25\equiv 0,\pm 1 \pmod{9} \Leftrightarrow 3n^2+3n-2 \equiv 0, \pm 1 \pmod{9}.

Εξετάζοντας όλες τις περιπτώσεις για το n\mod{9} δηλαδή n\equiv 0,1,2,3,4,-4,-3,-2,-1\pmod{9} βλέπουμε ότι ο αριθμός A=3n^2+3n-2 δεν είναι ποτέ 0,\pm 1\pmod{9}, άτοπο.

Συνεπώς η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τέλειος κύβος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τετ Ιαν 09, 2019 1:17 pm

Παρόμοια λύση:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει λύση στους ακεραίους.
Το πρώτο μέλος είναι της μορφής 3k+1 άρα ο m^3 είναι της μορφής 3k+1 οπότε και ο m είναι της μορφής 3k+1.
Αν m=3k+1 τότε
n^2+n+8=9k^3+9k^2+3k
οπότε ο n^2+n+8 είναι πολλαπλάσιο του 3
καθώς και ο 4n^2+4n+32 είναι πολλαπλάσιο του 3 ή
ο (2n+1)^2+1 είναι πολλαπλάσιο του 3.
Όμως ένα τέλειο τετράγωνο διαιρούμενο με 3 αφήνει υπόλοιπο 0 ή 1, άρα ο (2n+1)^2+1 διαιρούμενος με 3 αφήνει υπόλοιπο 1 ή 2, άτοπο.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12232
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τέλειος κύβος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 2:52 pm

Η μία λύση που έκανα είναι σχεδόν σαν του Παύλου, με χρήση του (2n+1)^2.

Λίγο αλλιώς (αποφεύγοντας τα μόντουλα για να είναι σε επίπεδο Classa VIII), όπως στην λύση του Παύλου είναι m=3M+1 οπότε η αρχική ως δευτεροβάθμια ως προς n είναι

\displaystyle{3n^2+3n+25-(3M+1)^3=0}.

Λόγω αρρητότητας πρέπει η υπόρριζη ποσότητα στον τύπο των ριζών, με διακρίνουσα,

\displaystyle{\displaystyle{b^2-4ac= -279+324M^3+324M^2+108M= 9(-31+36M^2+12M+36M^3) = }
\displaystyle{=9 (-31+3L)= 9(3(L-10)+2)=9(3P+2)}}

να είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο το 3P+2, που βέβαια δεν είναι.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης