mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 28, 2018 5:05 pm**

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα του αθροίσματος των ψηφίων τους και του γινομένου των ψηφίων τους.
Δηλαδή $\overline{a_1a_2a_3...a_n}=a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 28, 2018 5:26 pm**

Νομίζω δεν είναι τόσο δύσκολη.

Για κάθε τέτοιο αριθμό έχουμε:

$\displaystyle (1-1)a_n + (10-1)a_{n-1} + (100-1)a_{n-2} + \cdots + (10^{n-1}-1) a_1 = a_1a_2 \cdots a_n \leqslant 9^{n-1}a_1$

Όμως για $n \geqslant 2$ έχουμε $10^{n-1}-1 > 9^{n-1}$ , άτοπο. (Υποθέτουμε ότι $a_1 \neq 0$ .)

Πρέπει λοιπόν n=1