Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Παρ Δεκ 28, 2018 5:05 pm

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα του αθροίσματος των ψηφίων τους και του γινομένου των ψηφίων τους.
Δηλαδή \overline{a_1a_2a_3...a_n}=a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 28, 2018 5:26 pm

Νομίζω δεν είναι τόσο δύσκολη.

Για κάθε τέτοιο αριθμό έχουμε:

\displaystyle  (1-1)a_n + (10-1)a_{n-1} + (100-1)a_{n-2} + \cdots + (10^{n-1}-1) a_1 = a_1a_2 \cdots a_n \leqslant 9^{n-1}a_1

Όμως για n \geqslant 2 έχουμε 10^{n-1}-1 > 9^{n-1}, άτοπο. (Υποθέτουμε ότι a_1 \neq 0.)

Πρέπει λοιπόν n=1 ή n=2. Για n=1 θέλουμε a_1 = 2a_1 που απορρίπτεται αφού a_1 \neq 0. Για n=2 θέλουμε 9a_1 = a_1a_2 οπότε πρέπει a_2 = 9.

Δηλαδή οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν το ζητούμενο είναι οι 19,29,\ldots,99.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Δευ Δεκ 31, 2018 1:29 am

Demetres έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 5:26 pm
Νομίζω δεν είναι τόσο δύσκολη.
Ίσως ταιριάζει πιο πολύ σε juniors...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης