Διοφαντική με εκθέτη

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Διοφαντική με εκθέτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Δευ Νοέμ 19, 2018 10:49 pm

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

7^{x}+x^{4}+47=y^{2}



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Διοφαντική με εκθέτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Νοέμ 20, 2018 4:17 pm

Αρχικά το x πρέπει να είναι \geq 0.Με mod4 για x\geq 1 και αφού τα x=0,1 δε δίνουν λύση, το x είναι ζυγός,έστω x=2k
.(χρειάζεται μόνο για να μειωθούν κάποιες περιπτώσεις).
Είναι 7^{2k}<7^{2k}+(2k)^4+47=y^2<(7^{k}+1)^2 για k\geq 5,πράγμα άτοπο.(Το δεξί μέλος ισοδυναμεί με 2\cdot 7^{2 k}>16(2k)^4+46 το οποίο αποδεικνύεται επαγωγικά ή και με παραγώγους).Οι υπόλοιπες τιμές (x\leq 8) ελέγχονται απλά,αφού το x είναι ζυγό.Η μόνη λύση τελικά είναι η (x,y)=(4,+-52)..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες